Turnier der Elemente

Aufrufe: 85     Aktiv: 30.05.2022 um 16:20

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Hallo,
ich gucke gerade einen Anime wo ein typisches Turnier stattfindet, daher kam mir folgende Aufgabe in den Sinn:
Im chinesischen gibt es ja diesen 5 Elemente, wo jedes Element stark gegen ein Element und schwach gegen ein Anderes ist.

Analog dazu stelle man sich ein "Turnier der Zahlen" vor.
Es gelte, weil ich es halt so vorgebe, dass 1<2,2<3,3<4,4<5,5<1 gilt.
Also sozusagen "5 stärker als 4, aber schwächer als 1 ist". Es kommen nur die zahlen 1-5 vor.
Diese halten ein klassisches Turnier ab, wo 2 Zahlen gegeneinander "kämpfen" und die Stärkere von beiden in die Nächste Runde zieht. Weil die Teilnehmerzahl keine Potenz von 2 ist, halt eine Zahl Glück und tritt erst im Finale ein.

Wer gegen wen kämpft, wird per Los, also per Zufall entschieden. Sollten 2 Zahlen zufällig gegeneinander kämpfen, die keine direkte stärker/schäwcher Beziehung haben, entscheidet der Zufall wer gewinnt.


Dazu Frage 1:
Angenommen wir betrachten die Zahl 5.
Wie wahrscheinlich ist es dass diese eine Konfiguration erwischt in denen nur direkt in beziehung stehende Zahlen gegeneinander kämpfen UND die 5 erst im Finale kämpfen muss und gewinnt?
Also wo bspw.
1 gegen 2 kmpft-> gewinner 2.
3 gegen 4 kämpft-> gewinner 4.
2 gegen 4 kämpft-> gewinner 4.
und im finale 4 gegen den glückspilz 5 kämpft-> 5 gewinnt das turnier.

wie wahrscheinlich ist so eine situation wo die 5 das Glückslos zieht und erst im finale kämpfen muss und dann auch noch gewinnt?

wobei es bei Näherem Überlegen vermutlich darauf hinausläuft dass es entweder die 4 ins Finale schafft.
oder die 2 oder 3 und die 5 da mit 50% wahrshceinlichkeit gewinnt.

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Eine Möglichkeit: Baumdiagramm mit allen Möglichkeiten zeichnen. Klappt immer, ist aufwändig. Aber unterwegs siehst Du vermutlich, worauf das hinausläuft und kannst die Möglichkeiten ordnen.

Zweite Möglichkeit: Du hast 5 Zahlen, die Du zufällig anordnest: (a,b,c,d,e). Lege fest, weil Du es so willst, dass zuerst a gegen b und c gegen d spielen, dann die Sieger. Der Gewinner davon spielt gegen e.
Dann ist doch die Frage, in wie vielen Fällen e=5 ist.

Zuletzt mache Dir mal Gedanken darüber, wie wahrscheinlich es eigentlich ist, dass die 1 ins Finale kommt. Wenn sie ins Finale kommt: wer ist dann der Gegner?
Dann wird möglicherweise schnell klar, wie oft die 5 eigentlich nicht gewinnt - unabhängig davon ob sie das Glückslos zieht oder nicht.
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Hm, eigentlich kann man ja a und b vertauschen (also (a,b)=(1,2) oder (2,1) macht ja für jene Teilrunde keinen unterschied)
sowie c und d vertauschen ohne dass es was ändert. Gleichzeitig kann man den a,b Zweig und den c,d zweig vertauschen ohne dass es was ändert.

die einzige zahl, die 5 gefährlich werden könnte, wäre die 1 und die fliegt in in den Vorrunden raus.
dementsprechend müsste, wenn e=5 ist, die 5 auch immer gewinnen.

Und, weil zyklisch vertauschbar oder so, müsste das gleiche gelten, wenn e=1,2,3 oder 4 ist.

die zahl, die automatisch im finale antritt, gewinnt immer.

wobei ich nochmal über die fälle nachdenken muss wo bspw. 1,3 und 2,4 gegeneinander antreten weil da der "Underdog" eine 50% gewinnchance hat.

da könnte mit etwas glück die 1 vielleicht bis ins finale überleben und die 5 killen...

müsste man mal die (1,2)(3,4) fälle und deren vertauschungen zusammenzählen und den (1,3,)(2,4) fälle und dessen varianten gegenüberstellen.
bei ersteren gewinnt 5 immer, bei zweiteren nicht immer (genaue chance müsste ich überlegen).
  ─   densch 30.05.2022 um 02:02

Ok, hatte die Zeile mit dem Zufall bei Nicht-Nachbarn überlesen und war davon ausgegangen, dass größere Zahlen immer gewinnen außer im Spezialfall 1 und 5.... Aber damit wird die Antwort ja nicht grundsätzlich falsch :-)

die zahl, die automatisch im Finale antritt, gewinnt nicht immer. Beispiel:
Die 2 gewinnt zufällig gegen die 4, die 3 gewinnt zufällig gegen die 5, im Finale sind dann 1 und 3 - beide können zufällig gewinnen.

Läuft vermutlich wirklich auf das Baum-Diagramm hinaus. Die mögliche Verkürzung bei den Vertauschungen hast Du ja schon richtig erkannt. Bleiben 30 Möglichkeiten, wenn ich das richtig sehe.

Edit: sind sogar nur 15 Möglichkeiten...
  ─   joergwausw 30.05.2022 um 15:38

Habe das mal versucht durchzurechnen. ich habe raus, dass der Kandidat auf dem Solo-Platz mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 gewinnt. Welche Zahl das ist, ist dabei ja egal aufgrund der Konstruktion des Modells. Im folgenden nehmen wir mal an, dass die 5 auf dem Solo-Platz liegt.
Die nächsthöhere Zahl gewinnt nach meiner Rechnung in einem Viertel (das wäre die 1), ebenso die zweit-höhere Zahl (das wäre die 2). Die Zahl direkt unter dem Solo-Platz (das wäre die 4) verliert im Finale oder vorher, kann also nicht gewinnen, und die verbleibende Zahl (die 3) gewinnt zu einem Zwölftel.

Am Ende habe ich dabei übrigens nur 3 Anordnungen betrachtet... ich hoffe, ich habe nichts übersehen...
  ─   joergwausw 30.05.2022 um 16:20

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