Vollständige Induktion (mit einer Herleitung?)

Erste Frage Aufrufe: 103     Aktiv: 17.04.2024 um 20:52

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Die Aufgabenstellung lautet:

Beweise mit vollständiger Induktion:
n^3+2n ist durch 3 teilbar.

Ich versuchte Zahlen einzusetzen (1,2 und 3), was funktioniert hat. Und versuechte es in einen Bruch umzuformen, was mir auch nicht weiterhalf...

EDIT vom 17.04.2024 um 18:31:


Vielen Dank für die Rückmeldung! Die Idee mit dem Bruch hatte ich, damit ich auf der anderen seite nicht 3* etwas schreiben muss. Aber ich verschtehe nicht was dort stehen muss? Weil es ist nicht n. Oder brauche ich das garnicht?

EDIT vom 17.04.2024 um 18:35:

Oh nein, man sieht das Bild garnicht :( Das steht dort drauf:

1. Induktionsanfang
n=1  1^3 + 2*1 = 3/3 = 1 geht

2. Induktionsschritt
Voraussetzung: (n^3+2n)/3 = was? oder n^3+2n = 3* was?
Behauptung: (n+1)^3 + 2(n+1) = 3* was? +(n+1)

EDIT vom 17.04.2024 um 19:22:

Wenn ich das "was?" mit k Element aus der Menge der natürlichen Zahlen ersetze funktioniert es bei mir nicht bzw. ich verschtehe nicht wie es funktioniert.

1. Induktionsanfang 
n=1  1^3 + 2*1 = 3/3 = 1 geht

2. Induktionsschritt
Voraussetzung: n^3+2n = 3k 
Behauptung: (n+1)^3 + 2(n+1) = 3 k +(n+1) => denn es sind nicht 3 n, habe ich ausprobier funktioniert nicht, folgend kann es nicht 3 (k+1) sein
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Punkte: 10

 

Wieso Bruch? Du sollst eine Induktion machen. Fang mal an, schreib alle Schritte sorgfältig auf und lade hier ("Frage bearbeiten") alles hoch, soweit du gekommen bist.   ─   mikn 17.04.2024 um 13:11

Vielen Dank für die Antwort! Ich brauche doch eine Gleichung für eine Induktion? Aber ich habe keine... deshalb dachte ich, dass es helfen kann, eine Seite "leer" zu haben und die 3 zur Formel dividieren   ─   anonym28203 17.04.2024 um 18:43
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1 Antwort
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Sieht schonm nicht schlecht aus.
Schreib in der Ind. Vor.: "$=3k$ für ein $k\in N$.
In dieser Form kannst Du es im Ind. Schritt verwenden. Rechne nicht mit Brüchen.
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Danke vielmals fürs Antworten! Ich habe dies ausprobiert, aber ich verstehe nicht wie ich es Beweisen soll? Die Behauptung sieht momentan wie folgt aus:
(n+1)^3 + 2(n+1) = 3 (k+1)
Ist das falsch? Denn ich weiss nicht was ich nun machen muss um es zu beweisen und ich verstehe nicht was k ist.
  ─   anonym28203 17.04.2024 um 18:48

Die Ind.Beh. lautet, wie üblich: $(n+1)^3+2(n+1)$ ist durch 3 teilbar.
Nichts anderes. Eben aus der Aufgabenstellung entnommen.
Im Ind. Schluss schreibe also die linke Seite hin, forme um und wende die Ind.Vor. an. Dann sehen wir weiter.
  ─   mikn 17.04.2024 um 20:52

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