Hallo,

zur Grenzwertbestimmung mittels Teleskopsumme: Schreibe dir mal die ersten Reihenglieder auf

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \frac 1 {2^{n+2}} - \frac 1  {2^n} \right) = \frac 1 {2^3} - \frac 1 {2^1} + \frac 1 {2^4} - \frac 1 {2^2} + \frac 1 {2^5} - \frac 1 {2^3}  + \ldots $$

Ab hier fängt die Teleskopsumme an sich zu kompensieren. Überlege dir, welche Summanden nicht kompensiert werden. Dann überlege dir, welchen Grenzwert die Folge

$$ a_n = \frac 1 {2^n} $$

hat. Kommst du damit auf den Grenzwert der Reihe?

Auch bei den anderen beiden Reihen würde ich dir empfehlen die ersten Summanden aufzuschreiben. Dann überlegst du dir welche nicht verschwinden. Die Summe der nicht verschwindenden Summanden ist dann dein Grenzwert. 

Von der Methode der Laufparameter habe ich leider noch nichts gehört und ich finde dazu auch nichts im Internet. Hast du dazu vielleicht irgendwelche Unterlagen? Ohne kann ich dir dabei leider nicht helfen.

Grüße Christian

Unter Laufparameteranpassung könnte ich mir Folgendes vorstellen, auch wenn es im Prinzip das gleiche ist wie Teleskopsumme:

Wir summieren mal nicht bis \(\infty\) sondern nur bis \(N\) und nehmen später den Grenzwert.

Dann ist \(\begin{align}S_N:=\sum_{n=1}^N\left(\frac1{2^{n+2}}-\frac1{2^n}\right)=\sum_{n=1}^N\frac1{2^{n+2}}-\sum_{n=1}^N\frac1{2^n}\end{align}\).

Jetzt verschieben wir in der ersten Summe den Laufindex \(n\) um 2 (das könnte man vielleicht als Laufparameteranpassung bezeichnen) und erhalten

\(\begin{align}S_N=\sum_{n=3}^{N+2}\frac1{2^n}-\sum_{n=1}^N\frac1{2^n}\end{align}.\)

Diese beiden Summen sind jetzt fast gleich, nur die Grenzen unterscheiden sich leicht. Wenn wir jetzt aus der ersten Summe die Terme für \(n=N+1\) und \(n=N+2\) aus der Summe ziehen und bei der zweiten Summe ebenso den ersten und zweiten Term, erhalten wir

\(\begin{align}S_N=\sum_{n=3}^N\frac1{2^n}+\frac1{2^{N+1}}+\frac1{2^{N+2}}-\sum_{n=3}^N\frac1{2^n}-\frac12-\frac1{2^2}\end{align}\).

Jetzt sind die beiden Summenzeichen identisch, sodass sie sich gegenseitig aufheben. Also bleibt übrig:

\(\begin{align}S_N=\frac1{2^{N+1}}+\frac1{2^{N+2}}-\frac34.\end{align}\)

Jetzt müssen wir noch den Grenzwert für \(N\to\infty\) nehmen. Was passiert dann mit den ersten beiden Summanden?