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\(|2x-1| - |x-1| < 0\)
\(a:= 2x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0.5 \\
b:= x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1\)
Fall 1 beide nichtnegativ:
\(2x-1 - (x-1) < 0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow L_1 = \varnothing\)
Fall 2 \(a\) negativ, \(b\) nichtnegativ:
\(L_2 = \varnothing\)
Fall 3 \(a\) nichtnegativ, \(b\) negativ:
\(2x-1 + (x-1) < 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{2}{3} \Rightarrow L_3 = \left[0.5;\frac{2}{3}\right)\)
Fall 4 beide negativ:
\(-(2x-1) + (x-1) < 0 \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow L_4 = (0;0.5)\)
Somit lautet die Lösungsmenge \(L= L_3 \cup L_4 = \left(0;\frac{2}{3}\right)\).
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geantwortet
maccheroni_konstante
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16.5K
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Hallo,
ich antworte dir hier, da doppelte Fragen hier gelöscht werden.
Die Subtraktion ist nicht zwingend notwendig, nur in den weiteren Rechenschritten, wirst du die Ungleichung eh zusammenfassen müssen, deshalb macht es Sinn diesen Schritt schon mal vorweg zu nehmen.
Erstmal kurz etwas zu Ungleichungen. Du kannst mit Ungleichungen genauso rechnen wie mit Gleichungen. Das einzige was du beachten musst, ist das du das Ungleichheitszeichen umkehren musst bei der Multiplikation (Division) einer negativen Zahl, dem potenzieren mit einer negativen Zahl und dem logarithmieren zu einer Basis kleiner als \( 1 \).
Also
$$ \begin{array}{ccccl} & a & > & b & \vert \cdot (-2) \\ \Rightarrow & -2a & < & -2b & \vert ^{-2} \\ \Rightarrow & (-2a)^{-2} & > & (-2b)^{-2} & \vert \log_{\frac 1 2}(\ ) \\ \Rightarrow & \log_{\frac 1 2}((-2a)^{-2}) & < & \log_{\frac 1 2}((-2b)^{-2}) \end{array} $$
Bei allen anderen Äquivalenzumformungen, bleibt das Ungleichheitszeichen so wie es ist.
Die Lösung einer Ungleichung sind immer Intervalle.
Jetzt gehst du bei Betragsungleichungen folgendermaßen vor.
Du musst für jeden Betrag eine Fallunterscheidung machen. Der Betrag ist folgendermaßen definiert
$$ \vert x \vert := \left\{ \begin{matrix} x & \text{für} x \geq 0 \\ -x & \text{für} x < 0 \end{matrix} \right. $$
Also müssen wir die Fälle betrachten, was passiert wenn der Inhalt des Betrages positiv bzw negativ ist. Wenn der Inhalt negativ ist, setzen wir ein Minus vor den Ausdruck im Betrag und lassen die Betragsstriche weg. Wenn der Inhalt positiv ist, lassen wir die Betragsstriche einfach weg.
Und das ist genau das was maccheroni_koonstante dort macht. Er berechnet zuerst, für welche \( x \) der Inhalt der Beträge nicht negativ ist.
Dann untersucht er 4 Fälle (2 pro Betrag). In diesen Fällen, formt er nach \( x \) um. Im ersten Fall erhält er \( x < 0 \). Da wir aber gesagt haben, das beide Beträge nichtnegativ sind, muss \( x \geq 1 \) gelten. Dies beißt sich und deshalb erhält er im ersten Fall die leere Menge als Lösung.
So geht er nun bei jedem Fall vor. Er formt nach \( x \) um und vergleicht mit den Einschränkungen die er zuvor berechnet hat und erhält so seine Lösungsintervalle. Die Vereinigung all dieser Lösungsintervalle ist dann die Lösungsmenge.
Ich hoffe es ist jetzt klarer.
Grüße Christian ─ christian_strack 12.11.2019 um 19:12
ich antworte dir hier, da doppelte Fragen hier gelöscht werden.
Die Subtraktion ist nicht zwingend notwendig, nur in den weiteren Rechenschritten, wirst du die Ungleichung eh zusammenfassen müssen, deshalb macht es Sinn diesen Schritt schon mal vorweg zu nehmen.
Erstmal kurz etwas zu Ungleichungen. Du kannst mit Ungleichungen genauso rechnen wie mit Gleichungen. Das einzige was du beachten musst, ist das du das Ungleichheitszeichen umkehren musst bei der Multiplikation (Division) einer negativen Zahl, dem potenzieren mit einer negativen Zahl und dem logarithmieren zu einer Basis kleiner als \( 1 \).
Also
$$ \begin{array}{ccccl} & a & > & b & \vert \cdot (-2) \\ \Rightarrow & -2a & < & -2b & \vert ^{-2} \\ \Rightarrow & (-2a)^{-2} & > & (-2b)^{-2} & \vert \log_{\frac 1 2}(\ ) \\ \Rightarrow & \log_{\frac 1 2}((-2a)^{-2}) & < & \log_{\frac 1 2}((-2b)^{-2}) \end{array} $$
Bei allen anderen Äquivalenzumformungen, bleibt das Ungleichheitszeichen so wie es ist.
Die Lösung einer Ungleichung sind immer Intervalle.
Jetzt gehst du bei Betragsungleichungen folgendermaßen vor.
Du musst für jeden Betrag eine Fallunterscheidung machen. Der Betrag ist folgendermaßen definiert
$$ \vert x \vert := \left\{ \begin{matrix} x & \text{für} x \geq 0 \\ -x & \text{für} x < 0 \end{matrix} \right. $$
Also müssen wir die Fälle betrachten, was passiert wenn der Inhalt des Betrages positiv bzw negativ ist. Wenn der Inhalt negativ ist, setzen wir ein Minus vor den Ausdruck im Betrag und lassen die Betragsstriche weg. Wenn der Inhalt positiv ist, lassen wir die Betragsstriche einfach weg.
Und das ist genau das was maccheroni_koonstante dort macht. Er berechnet zuerst, für welche \( x \) der Inhalt der Beträge nicht negativ ist.
Dann untersucht er 4 Fälle (2 pro Betrag). In diesen Fällen, formt er nach \( x \) um. Im ersten Fall erhält er \( x < 0 \). Da wir aber gesagt haben, das beide Beträge nichtnegativ sind, muss \( x \geq 1 \) gelten. Dies beißt sich und deshalb erhält er im ersten Fall die leere Menge als Lösung.
So geht er nun bei jedem Fall vor. Er formt nach \( x \) um und vergleicht mit den Einschränkungen die er zuvor berechnet hat und erhält so seine Lösungsintervalle. Die Vereinigung all dieser Lösungsintervalle ist dann die Lösungsmenge.
Ich hoffe es ist jetzt klarer.
Grüße Christian ─ christian_strack 12.11.2019 um 19:12
Da die Ursprungsaufgabe war ja |2x-1| < |x-1| bzw könntest du mir die Schritte bitte generell ein wenig erläutern?
Ich fühle mich leider echt hilflos bei diesem Thema. ─ bluepredator98 10.11.2019 um 18:16