Erstens ist das kein Mittelwertsatz, sondern nur eine Mittelwertformel.

Die Mittelwertformel (die mit dem Integral) verwendest du, wenn du den Mittelwert der von der Funktion dargestellten Größe suchst.

Den Differenzenquotienten benutzt du, wenn du den Mittelwert der Änderungsrate suchst.

Beispiel: Die Funktion stellt eine Geschwindigkeit dar. Gesucht ist die Durchschnittsgeschwindigkeit -> Mittelwertformel.
Gesucht ist die durchschnittliche Beschleunigung (das ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit) -> Differenzenquotient.