Mächtigkeit einer Menge anhand einer Relation auf die Menge ermitteln

Aufrufe: 662     Aktiv: 06.03.2022 um 17:07
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Wie ist es möglich, die Mächtigkeit einer Menge anhand einer Relation auf diese Menge zu ermitteln?
In meinem Beispiel ist die Relation auf die Menge eine Äquivalenzrelation und eine totale Ordnung.
Das heißt ja, dass sie reflexiv, symmetrisch, transitiv, total und eine Halbordnung sein muss.
Mein erster Gedanke war, dass wenn man die einzelnen Bedingungen verknüpft, die Mächtigkeit 1 sein müsste... ergibt das Sinn?
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Ja, du hast recht! Sollst du das auch begründen?
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Ja... ist es überhaupt wichtig, dass es eine Äquivalenzrelation ist? Weil ich hätte jetzt gedacht, dass man das schon an der totalen Ordnung erkennen würde.   ─   queenlikealion 28.02.2022 um 11:39
Ja, dass ist wichtig, fast jede Ordnungsrelation aus der Praxis ist auf einer Menge mit mehr als einem Element definiert... Nimm mal an, dass \(R\) so eine Relation wie aus der Aufgabe auf einer Menge \(M\) ist und seien \(a,b \in M\) mit \(a\not =b\), kannst du nun, dass zu einem Widerspruch führen.   ─   mathejean 28.02.2022 um 11:46
Wegen Reflexivität ist \(aRa\) und \(bRb\), wegen Totalordnung gibt es jetzt die Fälle \(aRb\) oder \(bRa\). Jeder Fall impliziert hier aber den anderen wegen der Symmetrie (also Fall egal), was folgt daraus (nutze Transitivität und danach Antisymmetrie)   ─   mathejean 28.02.2022 um 15:36
Aus aRb und bRa würde dann ja wieder aRa folgen? (Oder aRb und bRc, ja aRc) Und aus der Antisymetrie folgt ja aus aRb und bRa, dass a=b ist.
   ─   queenlikealion 28.02.2022 um 17:09
Doch genau, dass ist ein Widerspruch zur Annahme, dass zwei unterschiedliche Elemente in der Menge sind, also hat die Menge ein Element, weil die leere Menge bei Relationen ausgeschlossen ist (sollte so sein)   ─   mathejean 28.02.2022 um 17:30
Also ohne das, was ich in Klammern hab ist das so richtig? Bzw. Wofür brauche ich die transitivität überhaupt?   ─   queenlikealion 28.02.2022 um 17:32
Sehr gut aufgepasst, man braucht hier gar keine Transitivität und Reflexivität, sondern nutzt nur die Totalordnung, Symmetrie und Antisymmetrie. Ist \(aRb\), dann ist wegen Symmetrie auch \(bRa\), es ist aber \(a\not =b\) was Widerspruch zur Antisymmetrie ist   ─   mathejean 28.02.2022 um 17:42
Es ist \(aRb\) und \(bRa\) die Antisymmetrie sagt jetzt aber \(a=b\), nach Vorraussetzung ist aber \(a\not =b\). D.h. immer wenn du zwei verschiedene Elemente aus der Menge wählen kannst, gibt es einen Widerspruch, also sind in der Menge weniger als zwei Elemente, ich hoffe jetzt ist es klar   ─   mathejean 28.02.2022 um 18:16

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