Ganzrationale Funktion aufstellen.

Aufrufe: 503     Aktiv: 04.03.2021 um 16:22
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Wie stelle Ich eine ganzrationale Funktion aus folgendem Graphen auf?
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Student, Punkte: 39

 
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3 Antworten
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Verwende ein Verfahren der Polynomapproximation bzw. einfacher die Polynominterpolation.
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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Gibt es da auch noch einfacherer Verfahren, besuche die 12. Klasse.   ─   paypaul22 03.03.2021 um 12:04
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Ist eigentlich nicht kompliziert. Man entscheidet, durch wie viele und welche Punkte des Graphen oben der Graph des Polynoms mindestens gehen soll. Angenommen, man wählt \(n+1\) Punkte, Dann schreibt man das Polynom \(P\) vom Grad \(n\) mit den unbekannten Koeffizienten \(a_k\) hin: \(P(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\). Wenn \(x_i,y_i\) die Wertepaare auf dem Graphen oben sind, durch die der Graph von \(P\) gehen soll, dann erhält man ein LGS, indem man für alle \(i=0,\dots,n\) die Gleichung \(P(x_i)=\sum_{k=0}^na_kx_i^k=y_i\) hinschreibt. Das sind \(n+1\) Gleichungen für die \(n+1\) Unbekannten \(a_k\). Das LGS löst man und erhält das Polynom \(P\).

Allerdings ist der Rechenaufwand recht hoch, wenn \(n\) groß ist. Es ist effizienter, spezielle Ansätze für die Polynome zu wählen, z.B. den Newtonschen Algorithmus von der Wikipediaseite für Polynominterpolation.   ─   slanack 03.03.2021 um 16:31
Alles klar. Könntest du nochmal genauer erklären was k,x,y und i ist?   ─   paypaul22 03.03.2021 um 18:59
Wieso ist das so?   ─   paypaul22 03.03.2021 um 19:46
Es geht mir auch eher um eine idealisierte Funktion des Graphen.   ─   paypaul22 03.03.2021 um 20:02
Die Grafik kenne ich. Die gehörte aber mal zu einer Aufgabenstellung zu logistischem Wachstum. Damit ließ sich das recht gut annähern.   ─   scotchwhisky 04.03.2021 um 08:20
Die Aufgabe ist wirklich merkwürdig, weil nicht gesagt wird, unter welchen Gesichtspunkten ein Polynom gewählt werden soll. Streng nach Aufgabenstellung und am einfachsten wäre lineare Interpolation der Randpunkte, aber das (und auch polynomiale Interpolation) ist natürlich im Anwendungsfall Quatsch. Sinnvoll wäre es, ein akzeptiertes annäherndes Modell zu benutzen, also z.B. logistisches Wachstum, wie scotchwhisky richtig schreibt. Dann kann man aber (unter Vernachlässigung der ergriffenen Maßnahmen, dazu wird hier ja nichts gesagt) genauso exponentielles Wachstum nehmen, denn die Sättigung tritt erst bei etwa 70% der deutschen Bevölkerung ein, also bei knapp 60 Millionen. Hier befinden wir uns noch ganz klar im exponentiellen Wachstum.   ─   slanack 04.03.2021 um 11:26
Die anderen angebotenen Antworten liefern bessere Approximationen im quadratischen Mittel, aber keine ganzrationale Funktion.   ─   slanack 04.03.2021 um 11:28
Die Zahlen links sind in tausend bestätigte Fälle (kumulativ), siehe https://coronalevel.com/de/Germany/ oder bei Johns Hopkins. Ich bin mir nicht sicher, ob die Sättigung der logistischen Kurve dem Erreichen der Herdenimmunitat entspricht, aber gehe jetzt einmal davon aus. Letztere wurde anfangs auf 60-70% geschätzt, aber inzwischen geht man von höheren Zahlen aus, siehe https://www.nytimes.com/2020/12/24/health/herd-immunity-covid-coronavirus.html Ende Dezember hatte Deutschland also etwa 3% der Sättigung erreicht. Mit gutem Gewissen kann man dann (ohne Maßnahmen) immer noch von exponentiellem Wachstum sprechen. Das entspricht natürlich nicht der Kurve, die hier vorliegt. Modelle, die alle Maßnahmen berücksichtigen, sind aber zu komplex, um in einer Schülerarbeit behandelt zu werden. Falls es stimmt, dass nicht explizit eine Polynomapproximation verlangt ist, würde ich hier also vorschlagen, mit einer Exponentialfunktion zu approximieren, indem in logarithmischer Skala lineare Regression gemacht wird.   ─   slanack 04.03.2021 um 13:15
Übrigens ergibt sich dann auch direkt eine einfache, aber nicht triviale DGL, welche als Lösung die Approximation hat (dies wurde in einer anderen Frage schon gefragt).   ─   slanack 04.03.2021 um 13:18
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ich hab die alte Aufgabe widergefunden. https://www.mathefragen.de/frage/q/2e96a028f5/differentialgleichung-aufstellen/   ─   scotchwhisky 04.03.2021 um 15:46
ist sogar vom gleichen Fragesteller   ─   scotchwhisky 04.03.2021 um 15:47

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