Supremum bestimmen

Aufrufe: 461     Aktiv: 16.12.2020 um 00:11

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Ich soll bei dieser Aufgabe das Supremum dieser Menge ermitteln. Es wird am Ende die Wurzel aus d sein. Könnte mir einmal einmal ausführlich zeigen, wie ich zeige, dass Wurzel (d) eine obere Schranke und dann ist auch noch die kleinste oberste Schranke ist.

 

 

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Die Menge beschreibt alle reelle Zahlen, für die \(x^2<d\) gilt. Das kann man umformen zu \(x<\sqrt{d}\). Also ist mit \(\sqrt{d}\) eine obere Schranke, nämlich die kleinste, und damit das Supremum bestimmt. 

Also viel zu zeigen gibt es bei der Menge nicht. Dass es die kleinste obere Schranke ist, folgt bereits aus der Tatsache, dass \(\sqrt{d}-\varepsilon\) für jedes \(\varepsilon>0\) in der Menge liegt. Das Supremum muss aber nicht in der Menge liegen, da es ja nur eine obere Schranke ist. Die Elemente der Menge kommen allerdings beliebig nah an diese Schranke heran. 

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