Kern einer Matrix bestimmen

Aufrufe: 3694     Aktiv: 23.05.2020 um 18:40
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Hallo, ich soll den Kern dieser Matrix bestimmen und grundsätzlich weiß ich auch, wie ich das angehe. Jedoch habe ich am Ende eine Gleichung mit 3 Unbekannten und komme nicht weiter.

Aufgabe

Das habe ich bisher

Vielen vielen Dank für die Hilfe!

Bisheriger Lösungsansatz

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Student, Punkte: 119

 
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Die obige Antwort mit t funktioniert hier nicht. Wir haben 3 Gleichungen mit 5 Unbekannten, d.h. der Kern ist ein 2 (=5-3) dimensionaler Unterraum des R^5. Man setzt also ZWEI der 5 Variablen als, sagen wir, s bzw. t. und drückt die Lösung mit s und t aus.

(Tippfehler korrigiert: 3 Gleichungen natürlich, nicht 2).

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Lehrer/Professor, Punkte: 35.54K

 
Wie würde das dann ausehen? Bei x2 + 3x3 - 2x5 = 0 setze ich z.B. x3 und x5 auf s und t?   ─   felix1220 23.05.2020 um 16:46
Ich habe zu meiner Frage noch ein Bild hinzugefügt mit meinem Lösungsansatz. Habe aber 3 Variablen ersetzt mit s, t und z. Ich habe keinen Weg mit nur zwei Variablen gefunden... Könntest du einmal sagen, was du davon hältst? LG und Vielen Dank   ─   felix1220 23.05.2020 um 17:04
Entschuldigung für meine Dummheit, aber ich verstehe immer noch nicht, wie man den Kern mit nur s und t darstellt. Meine Gleichungen sind jetzt:
x5 = -x4
x2 = -3x3 + 2x5
x1 = 2x3

Wie kommt man nur mit s und t aus? Bzw. für welche x setzt man die ein?   ─   felix1220 23.05.2020 um 17:30
Ahhh jetzt hab ichs. Ich habe übersehen, dass man die x5 ja nicht ersetzen braucht, da man sie mit -x4 darstellen kann. Das hatte mich verwirrt. Alles klar, danke für die Hilfe!   ─   felix1220 23.05.2020 um 17:37
Du hast bei der Basis gesagt, dass man geeignete Vektoren b finden muss, wie berechnet man die bzw. wie findet man die beiden b?   ─   felix1220 23.05.2020 um 18:02
Achso. Man zieht einfach das s und t vor die Vektoren als Skalare?   ─   felix1220 23.05.2020 um 18:03
Und das ist dann einfach schon die Basis?
   ─   felix1220 23.05.2020 um 18:04
Ich habe ein Bild hinzugefügt. Ist die Basis dann so richtig?   ─   felix1220 23.05.2020 um 18:08
vielen Dank. Ich muss jetzt noch das Bild der Matrix und dessen Basis bestimmen. Die Basis des Bildes kann ich einfach angeben, das sind ja die Spalten als Vektoren, die linear unabhängig voneinander sind. Für das Bild gibt es ein Verfahren, in dem man transponiert und dann die ZSF bildet. Macht man das immer so, oder gibts noch einen Trick dafür?   ─   felix1220 23.05.2020 um 18:19
Hat sich erledigt   ─   felix1220 23.05.2020 um 18:40

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Du hast hier ein unterbestimmtes LGS, das heißt es hat keine einzelne Lösung, sondern einen Lösungsraum, der mehrere Vektoren enthält. 

Die Lösung in diesem Fall erhältst du, indem du eine der x-Werte  einfach mit einer Variable, nennen wir sie t. Anschließend bestimmst du alle anderen Parameter in Abhängigkeit von t. Dann erhältst du einen kompletten Vektor, der von t abhängt. Diese Menge an Vektoren ist dann dein Kern.

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Student, Punkte: 910

 
Ich habe doch trotzdem noch x2 + 3x3 - 2x5 = 0 also eine Gleichung mit 3 Unbekannten, für welches X setze ich dann t ein?   ─   felix1220 23.05.2020 um 16:31

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