Gleichmächtigkeit einer Menge mit ihrem Kreuzprodukt

Aufrufe: 121     Aktiv: 18.11.2022 um 07:37

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Hallo,
ich hab eine Frage zur Gleichmächtigkeit von Mengen. Wie kann ich beweisen, dass [0,1) und [0,1)x[0,1) gleichmächtig sind?

Ich suche die beiden injektiven Funktionen
f:[0,1)->[0,1)x[0,1) und
h:[0,1)x[0,1)->[0,1)
damit ich mit dem Satz von Contor-Schröder-Bernstein die Gleichmächtigkeit der beiden Mengen zeigen kann.

Ich hätte f aufgestellt als:
f:x->(x, x)

Bei der Funktion h weiß ich leider nicht, wie ich die Funktion aufstellen soll.

Danke und LG
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Student, Punkte: 21

 
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1 Antwort
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Hallo diese Aufgabe lässt sich nicht so einfach lösen wie die andere. Kennst du das Diagonalargument? So ähnlich man muss hier vorgehen. Schau mal hier unter Verallgemeinerung: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument
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Student, Punkte: 10.33K

 

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Danke, ich hab das Beispiel gelöst.
Mit der Idee, dass man bei der zweiten Injektion dem kartesischen Produkt [0,1)x[0,1) bzw (x,y) die Zahl zuordnet, bei der man nach dem Komma abwechselnd eine Kommastelle von x und eine Kommastelle von y nimmt.

Ich definiere (bei x1 ist die 1 tiefgestellt...):

Für n aus den natürlichen Zahlen:
x:=0,x1x2x3...xn
y:=0,y1y2y3...yn

(x,y)->0,x1y1x2y2x3y3... xnyn

Die Funktion ist sogar bijektiv, weil sie streng monoton steigt und
(0,0)->0 und
(0,9periodisch;0,9periodisch)->0.9periodisch

Ich hab die Funktion auch nochmal anders aufgeschrieben:
(x,y)-> x1/10 + y1/10² + x2/10³ + y2/10⁴ +...+ xn/10^(2n-1) + yn/10^(2n)
  ─   an. ni. 17.11.2022 um 21:20

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Sehr cool!   ─   mathejean 18.11.2022 um 07:37

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