Die homogene Gleichung ist die mit =0. Dann wird die Lösungsmenge auch ein Unterraum.
Eine Gleichung, vier Unbekannte, also ist der Lösungsraum ein Unterraum von R^4 mit dim=3. Die Basis hat also drei Vektoren, aus der Gleichung folgt z=-2w+4x-y, also ist der Unterraum
\(U=\left\{\begin{pmatrix} w\\ x\\ y\\ z\end{pmatrix} \mid z=-2w+4x-4y\right\}\). Schreibe diese Menge nun um als Menge der Linearkombinationen von drei Vektoren - diesen Teil solltest Du selbst machen, mit etwas Geduld - dann hast Du die Basis. Lad gerne Dein Ergebnis zur Kontrolle hier hoch.
PS: Es gibt nicht "die Basis". Verschiedene Rechenwege führen zu verschiedenen Basen, die alle richtig sein können.