Dimension von Polynomräumen

Aufrufe: 3595     Aktiv: 27.01.2020 um 23:40
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Hallo,

kann mir jemand erklären, warum die Menge aller Polynome dritten Gerades, nicht ein Vektorraum der Dimension 4 ist?

Meiner Auffassung nach könnte ich doch eine Basis mit 4 lin. unabhängigen Vektoren bilden: B={1, x, x^2, x^3} oder bin ich dadurch eingeschränkt dass es Polynome 3ten Gerades sein sollen? Also würde bspw. x^2 kein Element von V sein? 

Was wäre dann die Dimension?

 

Vielen Dank

 

 

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Student, Punkte: 19

 
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1 Antwort
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Die Menge aller Polynome 3. Grades hat 4 Dimensionen. Basis=(x^{0},x^{1},x^{2},x{3}) , sodass ein vielfaches dieser Elemente auch ein Teil der Menge ist. Also auch das Polynom x^{2}

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Danke für deine Antwort, aber die Lösung lautet eben das es kein Vektorraum der Dimension 4 ist. Deshalb frage ich mich auch ob es vllt einen Unterschied macht, ob in der Aufgabe steht "der Vektorraum aller Polynome höchstens dritten Grades" oder "der VR aller Polynome vom Grad 3"?   ─   fellin 27.01.2020 um 10:56
Du hast recht. Normalerweise heißt es immer "aller Polynome höchstens dritten Grades" mit Dim=4. Aber wenn wenn dort steht Polynome vom Grad 3 hat die Menge natürlich nur eine Dimension und x^2, x^1 etc. ist kein Teil der Menge.Mit Basis=(x^3).   ─   Simon 27.01.2020 um 11:05
Also ich denke die Lösung ist falsch, da wahrscheinlich der Vektorraum der Polynome von \( \textbf{höchstens}\) 3. Grad gemeint ist. Die Menge aller Polynome von genau Grad 3 ist nämlich insbesondere gar kein Vektorraum. (Man betrachte die Abgeschlossenheit.)   ─   chrispy 27.01.2020 um 12:35
Also wäre es kein Vektorraum weil zum Bsp die Abgeschlossenheit der Addition mit p1=x^3 und p2=-x^3 bei p1+p2 nicht erfüllt ist?
Oder wie lässt sich das vernünftig begründen?
Die Lösung könnte dennoch richtig sein, denn es sind nur Aussagen gegeben und man soll sagen ob diese richtig Oder falsch sind.   ─   fellin 27.01.2020 um 14:07
Das mit der Abgeschlossenheit stimmt genau so wie du es gesagt hast. Aber mir erscheint die Aufgabe doch sehr seltsam, wie ist denn der genaue Wortlaut der Aufgabe?   ─   chrispy 27.01.2020 um 23:40

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