Differentialgleichung lösen

Aufrufe: 52     Aktiv: 29.04.2021 um 13:41

0
Ich soll zeigen, dass die Funktion: \(f(x)= e^xx\) Lösung der folgenden Differentialgleichung ist: 

\(\frac{d^2f}{dx^2}-\frac{df}{dx}-e^x = 0\)

Kann ich das umschreiben zu: \(f''-f'-e^x = 0\) ?

Nur was mach ich mit dem \(e^x\)? Charakterisches Polynom anwenden geht da nicht, oder?

Ich blick da noch nicht ganz durch
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 42

 

Kommentar schreiben

2 Antworten
0
Hey,

du sollst nur zeigen, dass die gegebene Funktion eine Lösung deiner Differentialgleichung ist. Dafür musst du die Funktion entsprechend ableiten (Achtung Produktregel beachten) und dann die jeweiligen Ableitungen in die Gleichung einsetzen und schauen, ob da eine wahre Aussage bei raus kommt.

Wenn ja, dann ist die gegebene Funktion eine Lösung deiner Differentialgleichung.

Die Ableitungen sind dann \( f'(x) = e^x (x + 1) \) und \( f''(x) = e^x(x+2) \)

Wenn du das nun einsetzt, dann bekommst du: \( e^x(x+2) - e^x(x+1) - e^x = 0 \).

Jetzt kannst du \( e^x \) ausklammern und erhältst: \( e^x ( (x+2) - (x+1) - 1 ) = 0 \)

Wenn du die Klammer dann sauber ausrechnest, bekommst du \( e^x \cdot 0 = 0 \), was eine wahre Aussage ist. Somit ist die Funktion eine Lösung deiner Differentialgleichung

VG
Stefan
Diese Antwort melden
geantwortet

M.Sc., Punkte: 6.51K
 

1
Vielen Dank, dann war das leichter als gedacht^^   ─   universeller 29.04.2021 um 11:39

Kommentar schreiben

0
Die erste Ableitung ist \(f'(x)=e^x+e^xx=(1+x)e^x\) und die zweite Ableitung ist \(f''(x)=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x\). Es gilt also $$f''(x)-f'(x)-e^x=(2+x)e^x-(1+x)e^x-e^x=(2+x-1-x-1)e^x=0\cdot e^x=0$$
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 2.94K
 

Danke!   ─   universeller 29.04.2021 um 11:39

Kommentar schreiben