Abelsche Gruppe: Menge und Operation

Aufrufe: 121     Aktiv: 10.07.2022 um 19:48

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Hallo, 
Meine Aufgabe ist es zu zeigen, dass es sich hier um eine abelsche Gruppe handelt. Leider verstehe ich die Operation nicht so ganz. Hier was gegeben ist: 
Menge G = R × R \ {(0,0)} 
Operation: G × G -> G : ((a,b),(c,d)) -> (ac - bd, ad + bc)
Bis jetzt hatte ich aufgeschrieben:
Assoziativität: 
((a,b) × (b,c)) × (e,f) = (a,b) × (((c,d) × (e,f))
Zudem muss ich fwd Neuttalr Element finden
Die Existenz inverser Wlemente zeigen und die Kommutativität nachweisen 
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Danke schonmal in Voraus
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Punkte: 12

 

Achtung, was du meinst ist keine Operation sondern eine Verknüpfung. Eine Operation ist etwas anderes, sehr wichtiges!   ─   mathejean 10.07.2022 um 10:13

Achso okay danke warte ich kann dir die aufgabe gerne zeigen vielleicht kannst du mir dann erklären wie ich sie lösen kann   ─   user9f0615 10.07.2022 um 10:31

Okay, dann nennt ihr wohl aus irgendeinem komischen Grund die Verknüpfung eine Operation, lass uns davon aber nicht ablenken. Zum Vorgehen hat die karate schon Tipps gegeben, du musst einfach nur die Axiome nachrechnen, indem du Definition anwendest und Eigenschaften der reellen Zahlen. Die Zusatz von Aufgabe ist gut, falls du kennst komplexe Zahlen: die Gruppe hier ist Multiplikation komplexe Zahlen   ─   mathejean 10.07.2022 um 11:19

Grundlegend habe ich das ganze jetzt besser verstanden trotzdem weiß ich immer noch nicht so recht wie ich jetzt am besten anfange   ─   user9f0615 10.07.2022 um 11:34
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1 Antwort
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Hallo,
Also ich nehme an du meinst mit R$=\Bbb{R}$.
Nun hast du ja aber noch gar nichts bewiesen bei der Assoziativität, ich meine du hast nur aufgschrieben was zu zeigen ist, aber das ist noch kein Beweis. Wenn du den Beweis schon sonst gemacht hast lade ihn doch auch hoch damit wir es anschauen können.

Und was die Operation angeht, was verstehst du nicht? Ich meine sie ist einfach definiert als $$*:G\times G\rightarrow G;~~~~(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$$
viele Grüsse
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Die aufgeschriebene Zeile zur Assoziativität stimmt nicht, da ist was durcheinander mit den Buchstaben. Man muss bei solchen Aufgaben sehr sorgfältig sein, dann ist es auch nicht schwierig.   ─   mikn 10.07.2022 um 11:27

Danke für eure Hilfe naja also hätte ich jetzt zwei elemente wüsste ich nicht wie die Operation richtig anzuwenden ist.   ─   user9f0615 10.07.2022 um 11:29

Okay, lass uns gemeinsam auf Kommutativität schauen (weniger Schreibarbeit :D). Wir nehmen jetzt \((a,b),(c,d) \in G\) und müssen \((a,b)*(c,d)=(c,d)*(a,b)\) zeigen. Mit Definition ist \((a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\) und \((c,d)*(a,b)=(ca-db, cb+da)\). Nutze Eigenschaften von reellen Zahlen um Gleichzeitig zu zeigen   ─   mathejean 10.07.2022 um 11:42

Eine Frage warum steht in der letzten Klammer nicht (ca - db, cb + da)? Jetzt weiß ich aber glaub ich wie man weiter machen muss
Das heißt doch da steht dann (ac - bd) × (ad + bc) = (ca - db) × (cb + da)
Und das stimmt ja da die addition und multiolikation reeller zahlen ja kommutativ ist heißt die zweiten und ersten klammern sind jeweils gleich
Stimmt das so vom gedanken her?
  ─   user9f0615 10.07.2022 um 12:18

Ja, da muss ...+da stehen (Tippfehler). Und ja, vom Gedanken alles richtig. Beim Aufschreiben achte darauf, erstmal über das = ein ? zu schreiben, oder ein "zu zeigen" oder "zu prüfen" davor. Sonst kommt man leicht durcheinander bei den Eigenschaften. Am Ende immer eine Antwort formulieren (Kommutativität erfüllt o.ä.).   ─   mikn 10.07.2022 um 12:29

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Sehr gut, dass du auch aufpasst was ich schreibe! Ich schlage vor du rechnest jetzt erstmal (es ist leider viel Schreibarbeit) und lädst dann deine Rechnungen hoch   ─   mathejean 10.07.2022 um 12:36

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Okay Danke mach ich   ─   user9f0615 10.07.2022 um 12:56

Ich habe das jetzt abgeklärt das es kommutativ ist muss ich nicht beweisen meine erklärung reicht. Wie mache ich das mit dem neutralen Element wäre lieb könntest du mir da helfen.
  ─   user9f0615 10.07.2022 um 16:31

Laut Def. (nachschlagen!) ist $(e_1,e_2)$ neutrales Element, wenn $(a,b)\times (e_1,e_2)=(a,b)$ für alle $(a,b)$ gilt. Einsetzen und prüfen, was das für $e_1,e_2$ bedeutet, ausrechnen, fertig.   ─   mikn 10.07.2022 um 16:38

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Stimmt (1,0) als neutrales Element?
  ─   user9f0615 10.07.2022 um 16:42

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Ja. Aber es stimmt nicht, weil ich (oder mathejean oder sonstwer) das sagt, sondern nur weil/wenn *DU* es nachweisen kannst.   ─   mikn 10.07.2022 um 16:44

Ja da hast du recht. Danke für eure Hilfe habe die Aufgabe jetzt geschafft!   ─   user9f0615 10.07.2022 um 17:19

Gut. Wenn alles geklärt ist, bitte als beantwortet abhaken (grüner Haken), damit wir den Überblick behalten.   ─   mikn 10.07.2022 um 17:54

Leider weiß ich nicht wie das geht. Wo find ich den Haken denn?
  ─   user9f0615 10.07.2022 um 19:04

Habs geschafft
  ─   user9f0615 10.07.2022 um 19:48

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