Stetigkeit von Funktionen

Aufrufe: 75     Aktiv: 06.03.2021 um 19:42

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Hallo, ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Aufgabe Teil b).
Als Definitionsbereich hätte ich alle reellen Zahlen ohne 3 und 4 da der Nenner sonst zu null wird.
Ich wüsste nicht, wie man eine Funktion stetig macht, die 2 Zahlen als Definitonslücke besitzt. 
Normalerweise hätte ich den limes gegen die Definitionslücke laufen lassen und mit Grenzwertsätzen bzw. l'hospital weitergearbeitet. Wäre das denn korrekt?

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Hallo

Also du kannst dir hier das Leben ein wenig vereinfachen wenn du mal versuchst das Nenner und Zählerpolynom zu faktorisieren. Dann erhälst du nämlich:

\(f_2(x)=\frac{3x^3+3x^2-51x+45}{2x^2-14x+24}=\frac{(x+5)(x-3)(x-1)}{(x-4)(x-3)}=\frac{(x+5)(x-1)}{x-4}\)

Und nun erkennst du recht schnell dass du nur noch eine Definitionslücke bei \(x=4\) hast. 

Ich bin mir auch nicht ganz sicher aber ich hätte folgendes gesagt:

Du siehst ja dass wenn du \(lim_{x\rightarrow4^+}f(x)\) berechnest, also den rechtsseitigen Grenzwert, dass dann die Funktion gegen \(+\infty\) strebt, wenn du aber \(lim_{x\rightarrow4^-}f(x)\) berechnest, also den linksseitigen Grenzwert strebt deine Funktion gegen \(-\infty\). Ich hätte dann daraus geschlossen, dass du keinen Funktionswert für \(x=4\) findest sodass die Funktion stetig ist auf ganz \(\mathbb{R}\).
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Student, Punkte: 740
 

Vielen Dank für die Hilfe! :) Darf man denn immer faktorisieren, wenn man den Grenzwert berechnen möchte?   ─   olibats 06.03.2021 um 19:26

Kein Problem. Ja das darfst du immer, auch wenn du den Grenzwert nicht berechnen möchtest, denn was du machst ist ja eigentlich nichts anderes als dass du den Bruch vereinfachst und das ist immer erlaubt, eine andere Methode wäre z.B. Polynomdivision (falls dir das etwas sagt), doch für dieses Bsp. ist diese Methode nicht wirklich geeignet, bei \(f_1(x)\) hättest du das ganze auch mit Polynomdivision vereinfachen können.   ─   karate 06.03.2021 um 19:32

Ahh ok..
Verstehe leider gerade nicht so ganz wie man genau auf den Grenzwert +/- unendlich kommt. Könntest du mir da auf die Sprünge helfen?
  ─   olibats 06.03.2021 um 19:42

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