Wie löse ich die Gleichung nach x (R) auf?

Aufrufe: 586     Aktiv: 22.01.2020 um 17:09

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Leider kann ich die Lösung nicht nachvollziehen (wie man von Zeile 2 auf Zeile 3 kommt?) und rechne seit ca. 5 Stunden daran rum & bin echt verzweifelt. Hoffentlich kann das jemand erklären. Dankesehr!
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Also wir haben \(  -150 + \frac{R}{1.1} + \frac{R}{1.1^2} +\frac{R}{1.1^3} + \frac{R}{1.1^4} = 7.455 
\iff -150 + \frac{R}{1.1^4} \cdot ( 1.1^3 + 1.1^2 + 1.1 + 1)  = 7.455\).
Jetzt gilt aber :\( \displaystyle \sum_{k=0}^n q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}  \quad\forall q \neq 0 \)(Geometrische Partialsumme).  Bedeutet:
\(-150 + \frac{R}{1.1^4} \cdot ( 1.1^3 + 1.1^2 + 1.1 + 1)  = -150 + \frac{R}{1.1^4} \cdot  \displaystyle \sum_{k=0}^3 1.1^k  = -150 + \frac{R}{1.1^4} \cdot \frac{1.1^4-1}{1.1-1} =  -150 + \frac{R}{1.1^4} \cdot \frac{1.1^4-1}{0.1}\). 
Dazu muss man aber sagen, dass es sehr umständlich ist, über die geometrische Summe zu gehen. Einfacher wäre es einfach nur \( R\) auszuklammern und umzustellen.

\(\textbf{Edit:}\)
Um von Zeile 2 zu Zeile 3 zu kommen müssen wir nur ein paar elementare Rechenschritte machen:

\(\quad \quad \quad -150 + \frac{R}{1.1^4} \cdot \frac{1.1^4-1}{0.1} = 7.455 \)
\(\iff    \frac{R}{1.1^4} \cdot \frac{1.1^4-1}{0.1} = 157.455 \)   (150 addieren)
\(\iff  R = 157.455 \cdot 0.1 \cdot \frac{1.1^4}{1.1^4-1}  \)   (Mit Kehrwert Multiplizieren)
\( \iff R = 49.67 \)

Hoffe das hat dir weitergeholfen. Falls du noch Fragen hast, sag Bescheid.

MfG Chrispy

 

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Oder wolltest du tatsächlich wissen, wie man von Zeile 2 auf Zeile 3 kommt? Das ist nämlich relativ trivial im Vergleich zu dem vorherigen Schritt.   ─   chrispy 22.01.2020 um 17:01

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