Zu den Extrema: Es gilt generell (egal, was mit 1., 2. oder sonstwelchen) Ableitungen ist:
Wenn $f'$ einen VZW in $x_0$ hat, dann liegt dort ein Extremumg vor.
Zum Sattelpunkt bei $f(x)=x^5$: Das Kriterium, dass (irgend) eine Ableitung =0 ist, ist nicht hinreichend, sondern notwendig (für das Vorliegen von Extrema oder Sattelpunkten).
Generell: Man leitet an der Stelle $x_0$ so lange ab, bis $f^{(k)}(x_0)\neq 0$ (und alle niedrigeren Ableitungen =0 an dieser Stelle).
Dann gilt:
Wenn $k$ ungerade, dann liegt in $x_0$ ein Extremum vor.
Wenn $k$ gerade, dann liegt in $x_0$ ein Sattelpunkt vor (VZW in $f'$ treten hier nicht auf, spielen also keine Rolle).
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Also: "Generell: Man leitet an der Stelle $x_0$ so lange ab, bis $f^{(k)}(x_0)\neq 0$ (und alle niedrigeren Ableitungen =0 an dieser Stelle)."
Ich hab bewusst nicht von $k$-mal ableiten gesprochen, sondern von der $k$-ten Ableitung von $f$, so dass sich Deine Frage gar nicht stellen kann. ─ mikn 28.06.2022 um 21:21
Beim Bsp. f(x)= x^5 wäre ja k=5 (sprich 5 Ableitungen) und somit ein Sattelpunkt, da k=5 ungerade ist.
Fürs Verständnis: Ist die Überlegung falsch, dass Sattelpunkte nie einen VZW haben in der ersten Ableitung? Oder bessergesagt würde man mit dieser Methode (numerische Prüfung) auch Stellen ausrechnen, die eben kein Sattelpunkt wären sondern irgendwas "anderes"? Nur theoretisch gedacht: Hätte ich f(x)= x^27 wäre die Methode mit k Ableitungen sehr aufwändig. Sprich, ist die numerische Prüfung in der ersten Ableitung nur bei der Ermittlung der Extrema durchführbar oder auch bei Sattelpunkten?
EDIT: Habe eben im LS gelesen, dass Wendepunkten in der zweiten Ableitung einen VZW haben "müssen" (hinreichende Bedingung). Sattelpunkte gehören ja auch zu Wendepunkten. f(x)=x^5 hat einen VZW-Wechsel in der zweiten Ableitung... ─ nas17 26.06.2022 um 09:51