Sattelpunkt

Aufrufe: 137     Aktiv: 28.06.2022 um 21:22

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x^5 hat einen Sattelpunkt aber bei der dritten Ableitung gibt es 0. Dies ist jedoch nur eine hinreichende Bedingung!
Ist mein Gedanke korrekt, dass ich bei diesem Fall eine numerische Prüfung in der ersten Ableitung machen muss und falls es keinen Vorzeichenwechsel gibt, es zwingend einen Sattelpunkt ist? 

(Habe mir das analog zu den Extrema vorgestellt, dort nehme ich eine numerische Prüfung in der ersten Ableitung vor, falls die zweite Ableitung 0 ergibt. Falls es in der ersten Ableitung einen VZW-Wechsel gibt, habe ich ein Extrema, ansonsten nicht.)
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Zu den Extrema: Es gilt generell (egal, was mit 1., 2. oder sonstwelchen) Ableitungen ist:

Wenn $f'$ einen VZW in $x_0$ hat, dann liegt dort ein Extremumg vor.

Zum Sattelpunkt bei $f(x)=x^5$: Das Kriterium, dass (irgend) eine Ableitung =0 ist, ist nicht hinreichend, sondern notwendig (für das Vorliegen von Extrema oder Sattelpunkten).
Generell: Man leitet an der Stelle $x_0$ so lange ab, bis $f^{(k)}(x_0)\neq 0$ (und alle niedrigeren Ableitungen =0 an dieser Stelle).
Dann gilt:
Wenn $k$ ungerade, dann liegt in $x_0$ ein Extremum vor.
Wenn $k$ gerade, dann liegt in $x_0$ ein Sattelpunkt vor (VZW in $f'$ treten hier nicht auf, spielen also keine Rolle).

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Danke für die Erklärung! Das Vorgehen mit den k Ableitungen kannte ich noch nicht, ist jedoch sehr praktisch und einfach zu merken.
Beim Bsp. f(x)= x^5 wäre ja k=5 (sprich 5 Ableitungen) und somit ein Sattelpunkt, da k=5 ungerade ist.

Fürs Verständnis: Ist die Überlegung falsch, dass Sattelpunkte nie einen VZW haben in der ersten Ableitung? Oder bessergesagt würde man mit dieser Methode (numerische Prüfung) auch Stellen ausrechnen, die eben kein Sattelpunkt wären sondern irgendwas "anderes"? Nur theoretisch gedacht: Hätte ich f(x)= x^27 wäre die Methode mit k Ableitungen sehr aufwändig. Sprich, ist die numerische Prüfung in der ersten Ableitung nur bei der Ermittlung der Extrema durchführbar oder auch bei Sattelpunkten?

EDIT: Habe eben im LS gelesen, dass Wendepunkten in der zweiten Ableitung einen VZW haben "müssen" (hinreichende Bedingung). Sattelpunkte gehören ja auch zu Wendepunkten. f(x)=x^5 hat einen VZW-Wechsel in der zweiten Ableitung...
  ─   nas17 26.06.2022 um 09:51

Du meinst mit k Ableitungen erst nach der ersten Ableitung, oder? Weil in der 1. Ableitung erhält man ja erst x0. Habe das in meinen Kommentar oben verwechselt. Nach der 1. Ableitung wären es bei x^5 4 Ableitungen bis ungleich null, somit gerade und daher Sattelpunkt, oder? :)   ─   nas17 28.06.2022 um 21:01

Ich meine es genau wie ich es gesagt habe (ist ja kein Deutsch-Aufsatz mit Interpretation):
Also: "Generell: Man leitet an der Stelle $x_0$ so lange ab, bis $f^{(k)}(x_0)\neq 0$ (und alle niedrigeren Ableitungen =0 an dieser Stelle)."
Ich hab bewusst nicht von $k$-mal ableiten gesprochen, sondern von der $k$-ten Ableitung von $f$, so dass sich Deine Frage gar nicht stellen kann.
  ─   mikn 28.06.2022 um 21:21

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Ja, Sattelpunkte haben nie einen VZW in $f'$. Durch Sattelpunkte läuft $f$ stets monoton durch.
Wendepunkt: Ja, das stimmt. Die Bedingung "VZW in $f''$" ist auch notwendig, das ist quasi die Def. von "Wendepunkt" (wenn man mal von differenzierbaren Funktionen ausgeht). Diese Punkte heißen ja so, weil sich dort die Krümmung (nichts anderes ist ja $f''$) ändert, von Links- auf Rechtskrümmung (oder umgekehrt).
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Danke! Nun weiss ich gleich mehrere Wege, um zu kontrollieren, ob ich einen Sattelpunkt etc. habe. :)
Ich hätte noch eine Zusatzfrage zu einem verwandten Thema: Beim Kapitel "Bestimmung von Polynomfunktionen" ("sogenannten Steckbriefaufgaben") im LS steht folgendes: "Kontrollieren des Ergebnisses" -->" Die Kontrolle ist nötig, da nur notwendige Bedingungen verwendet werden". (sie meinen, dass man immer die resultierende Funktion zum Schluss mit den verschiedenen aufgestellten Bedingungen kontrollieren muss.
Warum ist das so, bzw. was meinen sie genau mit "da nur notwendige Bedingungen verwendet werden"? Uns wurde nie mitgeteilt, dass wir die Lösung (Funktion) noch kontrollieren müssen...
  ─   nas17 26.06.2022 um 14:55

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Kontrolle ist schon deshalb gut, weil man (jeder!) sich ja mal verrechnen kann. Das mit dem "notwendig" ist wohl so gemeint: Im Steckbrief steht dann z.B. "$p$ hat ein Extremum bei $x_0$". Rechnen tut man dann aber nur mit $p'(x0)=0$, also der dafür notwendigen Bedingung. Streng genommen muss daher im Endergebnis in $x_0$ gar kein Extremum vorliegen, sondern nur eine Nullstelle der 1. Abl. (könnte dann auch ein Sattelpunkt z.B. sein).   ─   mikn 26.06.2022 um 15:07

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