Koordinatennetz konformer Abbildung

Aufrufe: 59     Aktiv: 29.03.2021 um 22:24

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Also ich habe eine komplexe Funktion f gegeben (f:C-->C) mit f(z) = z^2. Dazu soll ich die Koordinatennetze darstellen, was bedeutet das und wie muss ich dabei vorgehen?
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In C hat man das Koordinatensystem mit \(x=Re(z),\,y=Im(z)\). Wenn man das z.B. für \(x\in Z\) und \(y\in Z\) einzeichnet, erhält man ein rechtwinkliges Koordinatennetz (Gitter). Durch das Anwenden der Abbildung \(f(z)=z^2\) wird dieses in ein neues Koordinatennetz transformiert. Um das geht es.
Probier ein paar Punkte (oder gleich die Gitterlinien) aus. Du wirst dann schon merken, welche und wieviele man nimmt um was zu sehen.
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Ahh für die ganzen Zahlen, stimmt das macht Sinn. Gut dann probier ich das erstmal. Danke!   ─   louis.kattner 29.03.2021 um 14:13

PS: Auch hierfür kann man das Internet nutzen, Suchbegriff "konforme abbildung" o.ä., und dann Option "Bilder", da gibt es genug Beispiele wie so was aussieht. Und man sieht schön die Winkeltreue (kartographische Anwendungen!).   ─   mikn 29.03.2021 um 14:16

Gut, also ich hab mir das jetzt mal mit Geogebra zeichnen lassen. Ich hab das ganze allerdings in den R^2 abgebildet, da ich nicht wusste was ich mit z^2 in der komplexen Ebene anfangen sollte. Da bin ich auf f(u,v) = (x^2-y^2, 2*x*y) gekommen. Das sieht im bereich von -10,10 für u und v auch ganz hübsch aus, fast wie ein Auge, nur wenn ich mir dann angucke wie (u,v)--> (x,y) im vergleich aussieht, dann sieht das für mich nach allem möglichen aus aber nicht nach Winkeltreue. Bin ich auf dem Holzweg? Oder ist meine Auffassung von Winkeltreue eine falsche. Es ist doch so, dass die Winkel sozusagen immer pro Quadrat in dem Gradnetz betrachtet werden oder täusche ich mich da? Aber selbst wenn ich davon ausgehe, können das nie im Leben überall 90° sein.   ─   louis.kattner 29.03.2021 um 15:40

Hab's schnell selbst gemacht und oben hochgeladen. Die Winkel sehen doch ganz hervorragend wie rechte Winkel aus. Mach Dir nochmal ganz klar, was Winkeltreue heißt, es geht um eine Abbildung und dabei Winkel-vorher, Winkel-nachher.   ─   mikn 29.03.2021 um 15:46

Ah hab zu spät das Bild gesehen. Dachte nachträglich ein Bild einzufügen, geht nicht, naja.   ─   louis.kattner 29.03.2021 um 16:13

Das geht in meinem Fall bei "Antwort bearbeiten", in Deinem bei "Frage bearbeiten". Bei Kommentaren geht es wohl nicht.. Sieht es denn so aus wie Dein Bild?   ─   mikn 29.03.2021 um 16:16

Ja, sieht es, https://www.mathefragen.de/frage/q/26449fef4e/mikn-konforme-abb-fz-z2/

Ich finde ganz besonders bei den Schnittpunkten auf der y-Achse sieht das sehr verzerrt aus.
  ─   louis.kattner 29.03.2021 um 16:23

Mit der y-Achse muss es auch nicht rechtwinklig schneiden. Nur die blauen Linien untereinander.   ─   mikn 29.03.2021 um 18:51

cauchy hat unter meine andere Frage geschrieben das man Tangenten durch die Schnittpunkte legen muss, ist das Pflicht oder vereinfacht das die Sache mit dem Nachweisen des rechten Winkels nur?   ─   louis.kattner 29.03.2021 um 22:12

Definition: Der Schnittwinkel zweier Kurven in einem Schnittpunkt ist der Schnittwinkel der beiden Tangenten. Ich dachte, das ist klar. Wenn man das verstanden hat, muss man die nicht einzeichnen, sondern sieht das auch so. Winkeltreue heißt, es ist VOR der Abbildung exakt der gleiche Schnittwinkel wie NACH Anwendung der Abbildung. Und nicht nur rechte Winkel bleiben erhalten, sondern alle Winkel. Beim Koordinatennetz sieht man es halt am besten, weil alle Schnittwinkel vorher (Gitter) rechte sind, aber eben nachher auch.
Wenn man es auf Papier ausmessen will (mit Geodreieck), dann muss man schon Tangenten einzeichnen, sonst kann man es am Geodreieck nicht ablesen. Aber man sieht das auch so (finde ich).
  ─   mikn 29.03.2021 um 22:24

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