Moin mrswindy.

Zur Monotonie:

\(\sqrt{\dfrac{n^2-n+2n}{n^2-n}}\)

Hier ist in der Lösung bei der nächsten Umformung etwas schiefgelaufen, denn:

\(\sqrt{\dfrac{n^2-n+2n}{n^2-n}}=\sqrt{\dfrac{n^2-n}{n^2-n}+\dfrac{2n}{n^2-n}}=\sqrt{1+\dfrac{2n}{n^2-n}}=\sqrt{1+\dfrac{2n}{n(n-1)}}=\sqrt{1+\dfrac{2}{n-1}}\)

In der Lösung heißt es ja \(2\) anstelle von \(2n\), das ist verkehrt. Der Ausdruck ist größer als \(1\), da für \(n>1\) (\(n=0, \ n=1\) musst du extra betrachten), da der Ausdruck innerhalb der Wurzel immer größer ist als \(1\). Ziehst du die Wurzel aus einem Ausdruck größer \(1\), ist diese auch immer größer \(1\).

Für die Beschränktheit kannst du dir in dem Fall den \(\lim_{n\rightarrow \infty}\) anschauen. Vielleicht siehst du das besser, wenn du \(a_n\) umformst zu \(a_n=\sqrt{n^2-n}=\sqrt{n^2(1-\frac{1}{n})}=n\sqrt{1-\frac{1}{n}}\)

Grüße

Eigentlich ist das - meiner Auffassung nach - keine geometrische Folge, da der Quotient der Folgenglieder ja nicht konstant ist. Der hängt ja ganz offensichtlich von \(n\) ab! 

Du ziehst den Zähler auseinander, so dass du den einen Bruch dann kürzen kannst. Aber beim zweiten müsste doch dann \(2n\) stehen...

Dann würde auch das ausklammern Sinn ergeben, weil man dann durch \(n\) kürzen kann. Und warum das ganze dann größer als 1 ist, ist doch klar. Wenn du irgendetwas positives zu 1 dazu addierst, dann ist es echt größer als 1. Das gilt natürlich auch für die Wurzel, denn die Wurzelfunktion ist monoton wachsend.

Die Wurzelfunktion ist nicht beschränkt. Sowas weiß man oder hat man sogar mal bewiesen. Aber so etwas darf man durchaus benutzen. 

Konnte ich damit schon einiges klären?