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Hallo,
der Beweis ist in zwei Teile gegliedert. Mach dir klar welche zwei Aussagen bewiesen werden.
a)
Wir nehmen an es gibt zwei Zahlen die Fixpunkte sind und nennen sie \( x,y \). Dann gilt
$$ g(x) = x \ \text{und} \ g(y) = y $$
Nun gilt aber
$$ \vert x -y \vert = \vert g(x) - g(y) \vert \leq q \vert x - y \vert \\ \Rightarrow \vert x-y \vert \leq q \vert x -y \vert $$
Nehmen wir an \( \vert x - y \vert \neq 0 \) und teilen durch den Ausdruck, erhalten wir
$$ 1 \leq q $$
Warum führt das zu einem Widerspruch? Warum muss daraus dann folgen das \( \vert x - y \vert = 0 \)? (ist eigentlich der selbe Grund)
Da dann \( \vert x - y \vert = 0 \) folgt, bedeutet das was für \( x \) und \( y \)?
Der erste Teil wäre nach diesen Fragen bewiesen.
b)
In dem Satz ist die rede von einer rekursiven Folge. Für diese gilt
$$ x_n = g(x_{n-1}) $$
Aus der Kontraktion folgt direkt die Stetigkeit. Ist dir klar wieso?
Wir untersuchen diese Folge auf Konvergenz und nutzen dafür immer wieder die Kontraktionsbedingung und die Definition der Folge.
$$ \vert x_{n+1} - x_n \vert = \vert g(x_n) - g(x_{n-1}) \vert \leq q \vert x_{n} - x_{n-1} \vert \\ q \vert x_{n} - x_{n-1} \vert = q \vert g(x_{n-1}) - g(x_{n-2}) \vert \leq q^2 \vert x_{n-1} - x_{n-2} \vert \\ \vdots \\ \leq q^n \vert x_1 - x_0 \vert $$
Nach dem angegebenen Satz konvergiert die Folge dann gegen \( x^* \).
Wenn noch Fragen offen sind melde dich nochmal.
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Machen wir eine Fallunterscheidung.
1) $$ \vert a_1 - a_0 \vert = 0 $$
Das bedeutet aber auch das \( x_0 = x_1 \).
Da für unsere Folge \( g(x_{n-1}) = x_n \) gilt, müsste dann aber \( g(x_0) = x_1 \) gelten. Da aber auch \( x_0 = x_1 \), gilt
$$ g(x_0)= x_1 = x_0 $$
Somit ist \( x_0 \) sofort Fixpunkt. Die Folge konvergiert also ab dem ersten Glied gegen den Fixpunkt \( x^* \).
2) $$ \vert a_1 - a_0 \vert > 0 $$
Setzen wir \( C = \vert a_1 - a_0 \vert \), gilt sofort \( C > 0 \) und wir können vom Satz 6.11 anwenden.
Das bedeutet dann aber, dass die Folge konvergiert. Da außerdem \( g(x_{n-1}) = x_n \) gilt und ab einem bestimmten \( n \) alle Folgeglieder gleich dem Grenzwert \( x \) sind, gilt ab dann
$$ g(x_{n-1}) = x_n \\ \Rightarrow g(x) = x $$
Somit ist der Grenzwert \( x \), also gleich dem Fixpunkt \( x^* \).
Grüße Christian ─ christian_strack 17.10.2019 um 16:09
Okay ich habe jetzt alles außer eine Sache verstanden. Warum folgt daraus, dass die Folge konvergiert? Ich sehe den Zusammenhang zum angegebenen Satz nicht wirklich. In dem Satz wird ja gesagt wenn |xn+1−xn|≤qnC|xn+1−xn|≤qnC \vert x_{n+1} - x_n \vert \leq q^n C gilt, dann ist die Folge konvergent. Was genau ist in dem Satz mit diesem C gemeint? Und warum konvergiert die Folge dann genau gegen \( x^* \) ?
─ joline 17.10.2019 um 10:06