Folgen-Divergenz mit Quantoren formulieren

Aufrufe: 88     Aktiv: 10.02.2021 um 19:23

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Steht eigentlich alles im Bild. 1.) müsste passen oder? Auf 2.) komm ich nicht drauf ohne Negation.
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1 Antwort
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Deine Lösung zu 1. stimmt nicht.  Bei der Negation muss man auch die Quantoren verändern.  Schau nochmal ins Skript.

In der Aufgabenstellung erscheint der Grenzwert \(\rho\) außerhalb der Quantorenschreibweise.  Um diesen mit einzubeziehen, solltest Du erst einmal die Aussage "\((a_n)\) ist konvergent" komplett mit Quantoren schreiben, also auch vor \(\rho\) einen Quantor stellen.

Versuche jetzt nochmal, die 1. zu lösen, dann sehen wir weiter.
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Ok, aber ich verstehe nicht ganz, warum 1. falsch ist. Die Negation der Konvergenzaussage würde doch aussagen, dass a_n nicht gegen g konvergiert (konvergiert gegen einen anderen Wert oder divergiert). Demnach wäre dies Punkt 2 oder?
Für 1. würde meine Argumentation so lauten, dass für jedes vorgegebene positive Epsilon ein Index n_0 existiert, sodass für jeden nachfolgenden Indexwert der Folge der Abstand dieser zum vorgegebenen "Grenz-"Wert größer ist als dieses (beliebig große) vorgegebene Epsilon. Wenn die Aussage wahr ist, läuft die Folge also nicht gegen den vorgegeben "Grenz-"Wert und auch gegen keinen anderen -> Die Folge divergiert.
Wo liegt mein Denkfehler?
  ─   polaroid 10.02.2021 um 16:58

Der Unterschied zwischen 1. und 2. ist, dass bei 1. die Folge tatsächlich divergiert, also keinen Grenzwert hat. Bei 2. hingegen konvergiert die Folge nicht gegen \(g\). Das heißt, dass sie entweder divergiert ODER einen anderen Grenzwert hat.   ─   cauchy 10.02.2021 um 17:23

@cauchy Genau das habe ich doch eben geschrieben. Die Frage war weshalb die Argumentation für 1. nicht stimmt. 2. ist die Negation der Konvergenzaussage. Ohne Negationssymbol wird's aber doch irgendwie schwer die hinzuschreiben?   ─   polaroid 10.02.2021 um 17:33

Deine Aussage zu 1. ist in zweierlei Hinsicht falsch:

Erstens gibt es noch allgemeinere Formen der Divergenz, die Du mit Deiner Lösung nicht erfasst. Du sagst, dass ab einem gewissen \(n_0\) alle Folgenglieder den Abstand \(\varepsilon\) von \(\rho\) einhalten. Aber auch eine Folge, in der unendlich viele Folgenglieder einen festen positiven Mindestabstand zu \(\rho\) einhalten, die aber eine Teilfolge besitzt, die gegen \(\rho\) konvergiert, divergiert.

Zweitens schließt Deine Formulierung nicht aus, dass die Folge gegen eine andere Zahl als \(\rho\) konvergiert, also nicht divergent ist.
  ─   slanack 10.02.2021 um 18:05

\((a_n)\) konvergent schreibt man mit Quantoren so: \[\exists\rho\in\mathbb{R}\ \forall\varepsilon>0\ \exists n_0\ \forall n\ge n_0\colon |a_n-\rho|<\varepsilon.\] Um Divergenz zu charakterisieren, musst Du einfach auf diese Aussage die Negation anwenden und "durchführen", also auf alle Symbole wirken lassen. Wie das geht, habt Ihr in der Vorlesung gelernt. Probier mal.   ─   slanack 10.02.2021 um 18:09

Ok, danke erst Mal. Die Negation der Konvergenzaussage formuliert ja aber die "Nicht-Konvergenz gegen g" und nicht die Divergenz, also 2.)?   ─   polaroid 10.02.2021 um 18:23

Nein, denn \(\rho\) ist ja nicht festgelegt. Meine Formulierung der Konvergenz erlaubt beliebige Grenzwerte, also ist die Negation allgemeine Divergenz. Also Aufgabe 1.   ─   slanack 10.02.2021 um 19:23

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