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Hallo,
leider ist deine Formel ziemlich zerschossen. Ist in den beiden Formeln nur das \( < \) und \( \leq \) anders? Beim Beweis des Grenzwertes setzt man eigentlich immer bei
$$ |a_n - a| \leq \varepsilon $$
an. Wir setzen Folge und Grenzwert ein
$$ \left| \sqrt{n+4} - \sqrt{n+2} - 0 \right| $$
Das wird nun immer weiter nach oben abgeschätzt, bis man ein \( N \in \mathbb{N} \) findet, ab dem der Abstand kleiner als \( \varepsilon \) ist.
Als Tipp: Nutze die dritte binomische Formel, um die beiden Wurzeln eindeutiger zusammenzufassen. Versuch dich mal und wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Zur a)
ich setze schon nach der dritten binomischen Formel an
$$ \frac 2 {\sqrt{n+4} + \sqrt{n+2}} < \frac 2 {\sqrt{n} + \sqrt{n}} = \frac 2 {2\sqrt{n}} = \frac 1 {\sqrt{n}} \leq \frac 1 {\sqrt{n_0}} < \varepsilon $$
Sind die Abschätzungen klar?
Nun ergibt sich aus dieser Abschätzung
$$ \frac 1 {\varepsilon^2} < n_0 $$
Bis hier hin rechnen wir nur. Ab jetzt beginnt der eigentliche Beweis.
Die Definition der Konvergenz sagt: Dass für alle \( n \geq n_0 \) der Abstand kleiner als \( \varepsilon \) sein soll.
Wir haben durch die obigen Abschätzungen so ein \( n_0 \) gefunden.
Für alle \( n \geq n_0 > \frac 1 {\varepsilon ^2} \) ist der Abstand zum Grenzwert \( 0 \) kleiner als \( \varepsilon \) und somit konvergiert die Folge gegen ihren Grenzwert \(0\).
Wenn wir jetzt beispielsweise \( \varepsilon = \frac 1 2 \) setzen, erhalten wir
$$ \frac 1 {(\frac 1 2)^2 } = 4 < n_0 $$
das heißt für alle \( n > 4 \) ist der Abstand zum Grenzwert kleiner als \( \frac 1 2 \).
zur b)
Wenn ihr die Grenzwertsätze breits hattet, dann ist die b) richtig.
Mit der java Methode kenne ich mich nicht aus. Aber du hast auf jeden Fall einen Vorzeichenfehler im Nenner gemacht, es heißt
$$ \frac {n+11} {\sqrt{4n+11} + \sqrt{3n}} $$
Dazu ist der Ausdruck
$$ \frac {\infty} {\sqrt{4n+11} +\sqrt{3n}} $$
nicht korrekt. Du kannst nicht den Grenzwert des Zählers berechnen und den Nenner unberührt lassen.
In der Aufgabe steht auch was von einer Abschätzung nach unten. Kannst du diese finden? ─ christian_strack 08.05.2020 um 10:41
ich setze schon nach der dritten binomischen Formel an
$$ \frac 2 {\sqrt{n+4} + \sqrt{n+2}} < \frac 2 {\sqrt{n} + \sqrt{n}} = \frac 2 {2\sqrt{n}} = \frac 1 {\sqrt{n}} \leq \frac 1 {\sqrt{n_0}} < \varepsilon $$
Sind die Abschätzungen klar?
Nun ergibt sich aus dieser Abschätzung
$$ \frac 1 {\varepsilon^2} < n_0 $$
Bis hier hin rechnen wir nur. Ab jetzt beginnt der eigentliche Beweis.
Die Definition der Konvergenz sagt: Dass für alle \( n \geq n_0 \) der Abstand kleiner als \( \varepsilon \) sein soll.
Wir haben durch die obigen Abschätzungen so ein \( n_0 \) gefunden.
Für alle \( n \geq n_0 > \frac 1 {\varepsilon ^2} \) ist der Abstand zum Grenzwert \( 0 \) kleiner als \( \varepsilon \) und somit konvergiert die Folge gegen ihren Grenzwert \(0\).
Wenn wir jetzt beispielsweise \( \varepsilon = \frac 1 2 \) setzen, erhalten wir
$$ \frac 1 {(\frac 1 2)^2 } = 4 < n_0 $$
das heißt für alle \( n > 4 \) ist der Abstand zum Grenzwert kleiner als \( \frac 1 2 \).
zur b)
Wenn ihr die Grenzwertsätze breits hattet, dann ist die b) richtig.
Mit der java Methode kenne ich mich nicht aus. Aber du hast auf jeden Fall einen Vorzeichenfehler im Nenner gemacht, es heißt
$$ \frac {n+11} {\sqrt{4n+11} + \sqrt{3n}} $$
Dazu ist der Ausdruck
$$ \frac {\infty} {\sqrt{4n+11} +\sqrt{3n}} $$
nicht korrekt. Du kannst nicht den Grenzwert des Zählers berechnen und den Nenner unberührt lassen.
In der Aufgabe steht auch was von einer Abschätzung nach unten. Kannst du diese finden? ─ christian_strack 08.05.2020 um 10:41
ich würde den letzten bruch einfach wieder so machen wie du das in deinem Beweis gemacht hast, sodass sich e² ergibt.
Ich weiß leider nicht wie man hier die Brüche reintippt oder hast du das als bild hochgeladen?
das wären ja dann im nenner erstmal √4n + √3n = 7√n = √n = e² oder? ─ deesmokey 08.05.2020 um 20:40
Ich weiß leider nicht wie man hier die Brüche reintippt oder hast du das als bild hochgeladen?
das wären ja dann im nenner erstmal √4n + √3n = 7√n = √n = e² oder? ─ deesmokey 08.05.2020 um 20:40
Ne das mit dem \( \varepsilon \) ist um Konvergenz zu zeigen. Du sollst aber die bestimmte Divergenz zeigen.
Eine Folge ist bestimmt divergent gegen \( \infty \), wenn
$$ \forall M\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n > N:x_{n} > M $$
Also müssen wir unsere Folge nun abschätzen. Ähnlich wie bei der a) nur das du jetzt am Ende \( > M \) setzt und so wieder ein \( N \) findest, sodass für alle \( n \geq N \) die Folge größer als \( M \) ist. ─ christian_strack 09.05.2020 um 16:56
Eine Folge ist bestimmt divergent gegen \( \infty \), wenn
$$ \forall M\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n > N:x_{n} > M $$
Also müssen wir unsere Folge nun abschätzen. Ähnlich wie bei der a) nur das du jetzt am Ende \( > M \) setzt und so wieder ein \( N \) findest, sodass für alle \( n \geq N \) die Folge größer als \( M \) ist. ─ christian_strack 09.05.2020 um 16:56
Also wäre das quasi zb.
√4n+11 + √3n+1 = √7n+12 = 7+n12 ^2
wäre das richtig?
ich stehe grad auf dem schlauch ─ deesmokey 09.05.2020 um 17:31
√4n+11 + √3n+1 = √7n+12 = 7+n12 ^2
wäre das richtig?
ich stehe grad auf dem schlauch ─ deesmokey 09.05.2020 um 17:31
Du kannst nicht einfach eine Summe von Wurzeln zusammenfassen.
Wir wollen die Folge nach unten abschätzen. Das bedeutet, wir suchen eine Folge die für alle \( n \) kleiner als unsere Folge ist. Guck mal in euer Skript ob ihr vielleicht sinnvolle Abschätzungen in der Vorlesungen hattet. Ich hatte gestern leider keine Zeit, überlege heute aber auch mal etwas.
Sehe gerade auch erst das ich dir gar nicht auf die Bild Frage geantwortet hatte.
Wir nutzen hier Mathjax. Mathjax nutzt Latex Befehle. Mathjax wird durch \"( Code \") bzw $"$ Code $"$ aktiviert (ohne ", die hab ich nur hingemacht, damit Mathjax nicht aktiviert wird).
Die Implementierung durch Backslash und Klammer nutzt man am besten im Fließtext und die Dollarzeichen zentrieren die Formel.
Eine kleine Einführung findest du hier: https://media.mathefragen.de/static/files/mathjax_howto.pdf
─ christian_strack 10.05.2020 um 09:38
Wir wollen die Folge nach unten abschätzen. Das bedeutet, wir suchen eine Folge die für alle \( n \) kleiner als unsere Folge ist. Guck mal in euer Skript ob ihr vielleicht sinnvolle Abschätzungen in der Vorlesungen hattet. Ich hatte gestern leider keine Zeit, überlege heute aber auch mal etwas.
Sehe gerade auch erst das ich dir gar nicht auf die Bild Frage geantwortet hatte.
Wir nutzen hier Mathjax. Mathjax nutzt Latex Befehle. Mathjax wird durch \"( Code \") bzw $"$ Code $"$ aktiviert (ohne ", die hab ich nur hingemacht, damit Mathjax nicht aktiviert wird).
Die Implementierung durch Backslash und Klammer nutzt man am besten im Fließtext und die Dollarzeichen zentrieren die Formel.
Eine kleine Einführung findest du hier: https://media.mathefragen.de/static/files/mathjax_howto.pdf
─ christian_strack 10.05.2020 um 09:38
─ deesmokey 07.05.2020 um 22:49