0

Hallo Zusammen, ich bin gerade an der folgenden Aufgabe dran. Ich glaube zu verstehen, was die groben Schritte sind. Nun bin ich mir aber beim 2. Teil nicht ganz sicher, dort wo ich zeigen möchte, dass 1/(summe...) beschränkt ist.

Wäre sehr toll wenn sich das jemand anschauen könnte.

 

Vielen Dank!

 

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 1.95K

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1

Ich glaube du musst es dir nicht so kompliziert machen. Hattet ihr zufällig schon gezeigt, dass für alle \(n\in \mathbb{N}\) mit \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\) gilt:

\(\left|\sqrt[n]{|\alpha|}-\sqrt[n]{|\beta|}\right| \leq \sqrt[n]{|\alpha-\beta|}\) ? Wenn ja dann:

Sei \(\varepsilon >0\) beliebig gegeben. Nach Vorassetzung gilt ja \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} a_n =a\). Somit gibt es ein \(N(\varepsilon)\in \mathbb{N}\), so dass für alle \(n\geq N(\varepsilon)\) gilt:

\(|a_n-a|<\varepsilon\)

Sicherlich ist nicht nur \(a_n>0\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) sondern auch \(a>0\) vorausgesetzt. Dann sind \(a_n=|a_n|\) und \(a=|a|\). Dann gilt unter Zuhilfenahme der Abschätzung oben für alle \(n\geq N(\varepsilon^p)\):

\(\left|\sqrt[p]{a_n} -\sqrt[p]{a}\right|=\left|\sqrt[n]{|a_n|} -\sqrt[p]{|a|}\right| \leq \sqrt[p]{|a_n-a|} <\sqrt[p]{\varepsilon^p} =\varepsilon\)

Somit folgt \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} a_n=a\).

Ich denke du kommst auch mit der Verwendeung deiner Indentität und einer geeigneten Abschützung ans Ziel, aber deutlich umständlicher. Je nachdem ob ihr die oben genannte Abschätzung bereits bewiesen habt.

Ich kann auch nochmal nachrechnen, ob man mit deiner Variante eine passende Abschätzung findet.

 

Hoffe das hilft dir weiter.

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 8.95K

 

Hallo vielen Dank für die Antwort. Nein wir haben diese Identität leider noch nicht bewiesen und in der Aufgabe stand wir sollen die vorhin gelöste Aufgabe verwenden. Wäre toll wenn du dir einfach kurz anschauen könntest ob meins überhaupt so Sinn macht bzw erlaubt ist.   ─   karate 23.12.2020 um 21:16

Ok ich nehm mir gleich nochmal die Zeit und schreibs mal auf .... hattet ihr schon \(\sqrt[n]{\alpha +\beta} \leq \sqrt[n]{\alpha} +\sqrt[n]{\beta}\)?   ─   maqu 23.12.2020 um 21:33

nein habe eigentlich alles benutzt, was wir gehabt haben.
  ─   karate 23.12.2020 um 21:36

Also gegen deine Argumentation für die Beschränktheit von 1/summe ist nichts zu sagen. Ich würde an sich formal den Beweis etwas anders anfangen und beenden (mit der Konvergenzdefinition). Also wie folgt:
Sei \(\varepsilon >0\) beliebig gegeben. Nach Voraussetzung gibt es ein \(N(\varepsilon)\in \mathbb{N}\), so dass für alle \(n\geq N(\varepsilon)\) gilt: \(|a_n-a|<\varepsilon\). Es folgt zunächst wegen \(x^n-y^n=(x-y)\cdot \displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}y^k}\) mit \(x=\sqrt[p]{a_n}\) und \(y=\sqrt[p]{a}\):
\(\left|\sqrt[p]{a_n}-\sqrt[p]{a}\right| =\left|\dfrac{a_n-a}{\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}y^k}\right|\)

...
Nun folgt deine Argumentation das 1/summe beschränkt ist.
...
Da 1/summe beschränkt ist, gibt es ein \(c\in \mathbb{R}\), so dass gilt: \(\dfrac{1}{\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}y^k} \leq c\). Dann folgt für alle \(n\geq N\left(\dfrac{\varepsilon}{c}\right)\):
\(\left|\sqrt[p]{a_n}-\sqrt[p]{a}\right| =\left|\dfrac{a_n-a}{\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}y^k}\right| \leq |(a_n-a)\cdot c| <|\dfrac{\varepsilon}{c} \cdot c|=|\varepsilon|=\varepsilon\).
Somit gilt \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \sqrt[p]{a_n}=\sqrt[p]{a}\).

Ich bin persönlich einfach ein Verfechter der \(\varepsilon\)-Definition zum Beweisen der Konvergenz :D. Du argumentierst ja das \((a_n-a)_{n\in \mathbb{N}}\) ein Nullfolge ist und dann mit \(a_n\cdot b_n \longrightarrow 0\) wenn \(b_n\) beschränkt ist. Du machst also denke alles richtig. Ich hatte gerade versucht, ob es nicht möglich ist, die Abschätzung direkt gegen \(\varepsilon\) abzuschätzen unter Verwendung deiner Identität. Aber mir fehlt da noch der entscheidende Schritt. Hoffe ich konnte dir trotzdem eine kleine alternative anbieten und irgendwie weiterhelfen.
Ansonsten wünsche ich frohe Weihnachten ;D
  ─   maqu 23.12.2020 um 22:52

Ja bin ich leider auch, mag diese Definition einfach nicht ;). vielen dank für deine Zeit und auch die Info dass du auch keinen Widerspruch in meiner Argumentation gefunden hast.
Ja sicher deine Alternative finde ich super herzlichen dank!
auch dir wünsche ich frohe Weihnachten und vielleicht hört man sich ja wieder einmal bei der nächsten frage;)
  ─   karate 23.12.2020 um 23:03

immer gern ;)   ─   maqu 23.12.2020 um 23:09

Kommentar schreiben