Vollständige Induktion Teilbarkeit durch 3

Aufrufe: 856     Aktiv: 27.01.2022 um 16:28

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Ich soll beweisen, dass 3| 5^n-2^n 
so weit wie auf dem Bild bin ich schon gekommen aber danach weiß ich nicht wie ich weiter machen soll.
Es wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte :)

gefragt

Punkte: 16

 

Dein Induktionsbeweis ist unvollständig. Was willst du zeigen? $\frac{3}{5^n}-2^n=0$? Das funktioniert schon für n=2 nicht mehr. Poste doch einmal deine Aufgabenstellung.   ─   lernspass 27.01.2022 um 12:19

Aufgabenstellung lautet: "Zeigen Sie, dass für alle n (Element der natürlichen Zahlen) gilt: 5^n-2^n ist durch 3 Teilbar"

ich habe es mit vollständiger Induktion versucht und möchte zeigen, dass das mit n+1, also für alle n geht. Leider scheitere ich bei der Umformung.
  ─   user369934 27.01.2022 um 12:25

Oh ich habe deinen Strich als Bruchstrich gelesen. Mein Fehler.   ─   lernspass 27.01.2022 um 12:59
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2 Antworten
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Versuch mal die 5 von $5^{n+1}=5^n\cdot5$ geschickt zu zerlegen. Dann kannst du ausklammern...
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Das habe ich ja bereits gemacht (siehe Bild in der Frage) aber danach weiß ich nicht mehr weiter
  ─   user369934 27.01.2022 um 13:07

Und jetzt die einzelne 5 in eine Summe zerlegen.   ─   lernspass 27.01.2022 um 13:09

Jetzt bin ich endlich drauf gekommen. Vielen Dank!   ─   user369934 27.01.2022 um 14:23

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Das freut mich. Mir war es wichtig, dass du selber drauf kommst. Dann erinnerst du dich an diesen "Trick". Hätte ich es dir vorgerechnet, dann bliebe es dir nicht so gut im Gedächtnis. ;))   ─   lernspass 27.01.2022 um 14:26

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Ziehe am Anfang den Term $5\,(5^n-2^n)$ raus, also:
$5^{n+1}-2^{n+1}=5\,(5^n-2^n)+... =$.
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Ich verstehe nicht ganz wie man von der 2^n+1 den Faktor 5 rausziehen kann   ─   user369934 27.01.2022 um 13:32

Ich verstehe leider schon den ersten Teil ihrer Gleichung nicht, an der Stelle wo Sie den Faktor 5 Ausklammern.   ─   user369934 27.01.2022 um 13:53

mithilfe meines CAS konnte ich die Gleichung vervollständigen aber nicht nachvolziehen.   ─   user369934 27.01.2022 um 14:06

Also ich verstehe nicht wie man diese Umformung vollzieht   ─   user369934 27.01.2022 um 14:07

27=16+11
die anderen beiden konnte ich auch nicht lösen :/
  ─   user369934 27.01.2022 um 14:14

Ich hab es jetzt auf einem anderen Weg beweisen können. Trotzdem vielen Dank für Ihre Geduld!   ─   user369934 27.01.2022 um 14:23

Meinen Sie ich sollte schreiben 27=16+(27-16) ?   ─   user369934 27.01.2022 um 14:32

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.