Isomorphie

Aufrufe: 515     Aktiv: 09.12.2020 um 20:07
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Hallo, ich komme bei der b) nicht weiter. Kleiner Hinweis: Das F^fin bedeutet dass g einen endlichen Träger hat bzw. nur für endlich viele m ungleich null ist. Ich weis, dass isomorph= bijektiv und homomorph, aber wie zeige ich das hier explizit ?

 

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in dem bild gibts keinen Teil b)   ─   b_schaub 07.12.2020 um 21:45
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Dass die dargestellte Abbildung, ich nenne sie \(\Lambda\), ein Homomorphismus ist zeigst du durch Einsetzen einer Linearkombination von Elementen \(g,h\in\mathcal{F}(M,\mathbb{K})\) an der Stelle von \(f\). Als Bild muss dann die entsprechende Linearkombination der Bilder von \(g,h\) herauskommen.

Für die nächsten Schritte mache Dir klar, dass \(B:=\{e_m:m\in M\}\), wobei \(e_m\in\mathcal{F}^{\mathrm{fin}}(M,\mathbb{K})\) durch \[e_m(x):=\begin{cases}1&x=m\\0&x\neq m\end{cases}\]gegeben ist, eine Basis von \(\mathcal{F}^{\mathrm{fin}}(M,\mathbb{K})\) ist. Dann ist \(\varphi\in\mathcal{F}^{\mathrm{fin}}(M,\mathbb{K})^\vee\) jeweils schon durch die Werte auf \(B\) eindeutig festgelegt.

Injektivität: Zeige \(\Lambda(f_1)\neq\Lambda(f_2)\) auf einem geeigneten \(e_m\), wenn \(f_1\neq f_2\) gilt.

Surjektivität: Ein gegebenes \(\varphi\in\mathcal{F}^{\mathrm{fin}}(M,\mathbb{K})^{\vee}\) ist durch die Werte charakteristiert, die es auf \(B\) annimmt. Konstruiere damit \(f\in\mathcal{F}(M,\mathbb{K})\), so dass \(\varphi=\Lambda(f)\) gilt.

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Könntest du das mit dem Festlegen und der Basis B eventuell nochmal erklären? Die anderen Sachen habe ich .   ─   felixwaldherr420 08.12.2020 um 17:37
Eine lineare Abbildung ist schon durch ihre Werte auf einer Basis des Vektorraumes eindeutig bestimmt. Alle anderen Werte ergeben sich aus der Linearität. Darauf beruht es, dass man lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen nach der Wahl von Basen durch Matrizen darstellen kann.   ─   slanack 08.12.2020 um 17:46
Ist Dir klar, warum \(B\) hier eine Basis ist?   ─   slanack 08.12.2020 um 17:47
Ich verstehe die Definition von B die sie geschrieben haben aber mir ist nicht ganz klar warum dies eine Basis ist
  ─   felixwaldherr420 08.12.2020 um 17:51
also irgendwie verstehe ich das bei der surjektivität nicht richtig. bei injektivität habe ich außerdem nur gezeigt dass der kern null ist bzw. dass diese summe ja für alle g gleich null sein muss weswegen f = 0 gelten muss
   ─   felixwaldherr420 08.12.2020 um 17:59
Sei \(g\in\mathcal{F}^{\mathrm{fin}}(M,\mathbb{K})\). Dann existieren \(n\in\mathbb{N}\) und \(m_1,m_2,\dots,m_n\in M\) mit \(g(m)=0\) für \(m\in M\setminus\{m_1,\dots,m_n\}\). Schreibe jetzt \(g\) als Linearkombination gewisser Elemente aus \(B\). Da \(g\) beliebig ist, zeigt das, dass \(B\) eine Basis ist.   ─   slanack 08.12.2020 um 18:04
Kern gleich Null zu zeigen ist gut, reicht aus für die Injektivität.   ─   slanack 08.12.2020 um 18:08
Rechne für die Surjektivität doch mal für ein beliebiges \(f\in\mathcal{F}(M,\mathbb{K})\) den Ausdruck \(\Lambda(f)(e_m)\) für \(m\in M\) aus. Dann sollte es klar werden, wie Du bei der Surjektivität vorgehen kannst.   ─   slanack 08.12.2020 um 18:12
dann wird ja aber der ausdruck bzw die summe immer null außer x=m? oder?   ─   felixwaldherr420 08.12.2020 um 18:14
Ja, und was kommt raus?   ─   slanack 08.12.2020 um 18:26
naja du meintest dass g ja durch die wahl von B bereits festgelegt ist. ich kann doch dann also g als linearkombination von e_ms schreiben?
   ─   felixwaldherr420 08.12.2020 um 19:03
Nee, das hat damit nichts zu tun. Ein \(g\) taucht doch in \(\Lambda(f)(e_m)\) gar nicht auf.   ─   slanack 08.12.2020 um 19:11
Rechne diesen Ausdruck einfach mal aus.   ─   slanack 08.12.2020 um 19:12
Setze dazu \(e_m\) für \(g\) ein. Du hast es doch oben schon fast gehabt, 5 Kommentare zurück.   ─   slanack 08.12.2020 um 20:34
Wie gesagt, dann komme ich auf \\sum f(m) \cdot e_m(x)\
   ─   felixwaldherr420 08.12.2020 um 21:58
und das ist halt entweder einfach summe von f(m) wenn m=x bzw 0 wenn m ungleich x
mir fehlt einfach der goldene schritt denke ich
   ─   felixwaldherr420 08.12.2020 um 22:00
Es muss ein Element aus \(\mathbb{K}\) herauskommen, denn \(\Lambda(f)\) ist eine Abbildung \(\mathcal{F}^{\mathrm{fin}}(M,\mathbb{K})\to\mathbb{K}\)! Vielleicht ist Dir das Konzept des Dualraumes \(\mathcal{F}^{\mathrm{fin}}(M,\mathbb{K})^\vee\) nicht ganz klar geworden.   ─   slanack 09.12.2020 um 11:53
Was Du schreibst ist aber eine Abbildung. Richtig wäre: \[\Lambda(f)(e_m)=\sum_{\ell\in M}f(\ell)e_m(\ell)=\sum_{\ell\in M}f(\ell)\delta{m\ell}=f(m).\] Falls für beliebig gegebenes \(\varphi\in\mathcal{F}^{\mathrm{fin}}(M,\mathbb{K})^\vee\) die identität \(\varphi=\Lambda(f)\) gelten soll, dann muss für alle \(m\in M\) gelten: \(\varphi(e_m)=\Lambda(f)(e_m)=f(m)\). Wir haben also eine Notwendige Bedingung für ein geeignetes \(f\) gefunden. Jetzt fehlt noch der Schluss, dass \(\Lambda\) surjektiv ist. Kannst Du ihn jetzt vervollständigen?   ─   slanack 09.12.2020 um 11:58
naja wenn ich f als f/e_m wähle kürzt sich doch das e_m und es gilt für alle m   ─   felixwaldherr420 09.12.2020 um 13:26
Aber Du hast doch noch gar kein \(f\), wenn Du \(f\) konstruieren willst. Die Situation ist: \(\varphi\) ist gegeben, und \(f\) willst Du konstruieren. Du hast eine notwendige Bedingung, die \(f\) erfüllen muss. Konstruiere jetzt \(f\), so dass die notwendige Bedingung erfüllt ist, und zeige dann, dass \(\Lambda(f)=\varphi\) gilt.   ─   slanack 09.12.2020 um 13:36
okay ich versuche es mal zusammenzufassen. die Bedingung für unser f ist, dass für alle m die Gleichung phi(e_m) = delta(f)(e_m) = f(m) gilt. wir suchen also eine Abbildung f, welche egal welches m wir einsetzen, immer den wert von phi(e_m) hat. vielleicht die Identitätsabbildung? es tut mir leid ich verstehe einfach nicht wie ich dieses f dann konstuieren muss
   ─   felixwaldherr420 09.12.2020 um 17:16
Du *definierst* zu gegebenem \(\varphi\) jetzt einfach \(f\colon M\to\mathbb{K}\) durch \(f(m):=\varphi(e_m)\). Damit ist die notwendige Bedingung erfüllt. Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass \(\Lambda(f)=\varphi\) gilt. Das folgt daraus, dass die zwei linearen Abbildungen \(\Lambda(f),\varphi\colon\mathcal{F}^{\mathrm{fin}}(M,\mathbb{K})\to\mathbb{K}\) nach Konstruktion auf der Basis \(B\) übereinstimmen; es gilt ja für alle \(m\in M: \Lambda(f)(e_m)=f(m)=\varphi(e_m)\). Da lineare Abbildungen durch ihre Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind, gilt also die Behauptung. Fertig!   ─   slanack 09.12.2020 um 18:28
Die Rechnungen zu dieser Aufgabe sind alle trivial; man braucht eigentlich keine besonderen Ideen, außer vielleicht die, mit einer Basis zu arbeiten. Kann sein, dass man auch ohne auskommen würde. Es kommt hauptsächlich darauf an, die Begriffe gut verstanden zu haben.   ─   slanack 09.12.2020 um 18:31
... ohje ich merke schon ich muss mir das Skript noch mal anschauen. ich danke dir ganz herzlich für deine Geduld und Hilfe.
   ─   felixwaldherr420 09.12.2020 um 20:05
:)   ─   slanack 09.12.2020 um 20:07

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