Quellenfrei wirbelfrei Vektorfeld

Erste Frage Aufrufe: 51     Aktiv: 18.01.2023 um 23:40
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Ist G quellenfrei.  Für div(G) habe ich sin(xy)*(-y^2-x^2)+cos(yz)(-z^2-x^2) bekommen.
Um quellenfrei sein zu können, müsste div(G)=0 sein.

Ist I wirbelfrei? Für rot(I) bekomme ich einen Vektor, dessen Komponenten von x,y und z abhängig sind.
Rot(I)=0 müsste für wirbelfrei gelten.
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1 Antwort
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Ich erhalte $div(G)(x,y,z)=\sin(xy)\cdot(-y^2-x^2)+\cos(yz)\cdot (-z^2-y^2)$.
Was ist denn nun Deine Antwort zu "$G$ quellenfrei?" und "$I$ wirbelfrei?"?
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Wenn 0 wie bei den anderen Felder rausgekommen wäre, hätte ich mit quellen-/wirbelfrei geantwortet. Wenn dort eine Zahl ungleich 0 rausgekommen wäre, würde ich mit nicht quellen/wirbelfrei antworten. So verwirrt mich das Ganze. So könnte es möglich sein, dass es für bestimmte Werte für x und y div(G)=0 sein könnte, sodass es quellenfrei wäre.   ─   anonymce32e 18.01.2023 um 23:20
Dachte ich mir fast. Dein Problem ist, dass Du die Def. unvollständig aufgeschrieben hast. Vollständig (und das ist nicht nur hier wichtig!) lautet sie:
$G$ ist quellenfrei $:\iff$ $div(G)(x,y,z)=0$ für alle $(x,y,z)\in R^3$.
Analog für $I$ wirbelfrei. Siehst Du den Unterschied und warum er wichtig ist?   ─   mikn 18.01.2023 um 23:25
Vielen dank. Somit wäre G nicht quellenfrei und I nicht wirbelfrei.   ─   anonymce32e 18.01.2023 um 23:32
Genau. Übrigens muss man für "$I$ nicht wirbelfrei" nicht $rot(I)(x,y,z)$ komplett ausrechnen (ist ja ne mühselige Sache). Man merkt ja schon bei der ersten Komponente von $rot(I)(x,y,z)$, dass es nicht 0 wird für alle $(x,y,z)$, damit ist schon klar, dass $I$ nicht wirbelfrei ist - die anderen beiden Komponenten können's ja nicht mehr retten (weil der ganze Vektor der Nullvektor sein muss).   ─   mikn 18.01.2023 um 23:37

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