Zuerst betrachte die Lösung des homogenen Problems y''''-2y'''+5y''=0.

Mit dem Exponentialansatz substituiere \( y(x)=e^{\lambda x} \).

Man erhält dann \( (\lambda^4-2\cdot\lambda^3+5\cdot\lambda^2)\cdot e^{\lambda x}=0 \).

Mit Satz des Nullprodukts erhält man die Lösungen \( \lambda_{1/2}=0, \lambda_3=1+2i, \lambda_4=1-2i \).

Mit Resubstitution erhält man die Lösung des homogenen Problems:

\( y_{hom} (x) = c_1 + c_2 \cdot x + c_3 \cdot e^(1+2i) + c_4 \cdot e^(1-2i) \)

Durch die Eulersche Formel ist das:

\( y_{hom} (x) = c_1 +c_2 \cdot x + e^x \cdot (c_3 \cdot sin(2x) + c_4 \cdot cos(2x)) \).

Für die partikuläre Lösung braucht man nun eine spezielle Lösung, die nicht in \( y_{hom} (x) \) enthalten ist.

Dafür bietet sich \( y_{part} (x) = \frac{1}{2}\cdot x^2 \) an.

Die Lösung erhält man nun durch \( y(x) = y_{hom} (x) + y_{part} (x) \)

Also: \( y(x) = c_1 +c_2 \cdot x + e^x \cdot (c_3 \cdot sin(2x) + c_4 \cdot cos(2x)) + \frac{1}{2}\cdot x^2 \)