Zunächst mal hat in den Argumenten die Einheit Grad nichts zu suchen. Hier geht es ums Bogenmaß. Das Argument stellt man in wenigen Sekunden fest, wenn man eine Skizze macht. Dann sieht man auch sofort, dass $arg(\frac{1-i}{\sqrt2})=\frac74\pi$, und das ohne mit $\sin$ und $\cos$ zu rechnen.
Und genauso $arg\; z_6 = \frac\pi4$.
Und lies genau, da steht nicht $arg\; z_7 = 1+z_6$, sondern $arg\; z_7 =arg\; ( 1+z_6)$ und man meint damit genau das, was die Gleichung eben besagt. Es geht hier ja nicht um Meinungen. Um das nachzuweisen, probier halt mal was aus. Es ist nicht schlimm, wenn die ersten Versuche nichts bringen - im Gegenteil, man lernt auch dabei was.