Wie kann ich diesen Induktionsbeweis noch zu Ende führen?

Aufrufe: 802     Aktiv: 22.09.2020 um 19:14
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Hallo Zusammen, ich müsste folgende Aussage per Induktion beweisen.

Ich habe alles schön aufgestellt und bin jetzt beim Beweis an diesem Punkt angelangt:

Mir ist bewusst, dass ich zeigen muss, dass die Summen grösser sind als 2n aber irgendwie krieg ich das nicht hin, habe mir auch schon überlegt, ob man sagen könnte für n=1 würde der rot umkreiste Bereich 2.5 geben, bei 2n jedoch nur 2 sprich für alle n>1 ist auch der rote Bereich grösser als 2n aber ich denke eher nicht dass das geht.

Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank

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Hallo,

du bist schon auf einem sehr guten Weg. Deine Idee ist auch nicht ganz verkehrt. Du musst hier einfach eine doppelte vollständige Induktion durchführen. 

Nutze also die vollständige Induktion, um die Ungleichung

$$ x_{n+1} \sum\limits_{k=1}^n \frac 1 {x_k} + \frac 1 {x_{n+1}} \sum\limits_{k=1}^n x_k \geq 2n $$

zu beweisen.

Grüße Christian

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super herzlichen dank für eure super Antworten!
   ─   karate 21.09.2020 um 22:38
Sehr gerne :)   ─   christian_strack 22.09.2020 um 19:14

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Du mußt n-mal \(\frac{x_{n+1}}{x_i}+\frac{x_i }{x_{n+1}}>2\) anwenden; das gilt, weil \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2<=>a^2+b^2>2ab<=>a^2-2ab+b^2=(a-b)^2>0\)

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