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Aber das Majorantenkrit. geht ja auch nicht, weil dn nicht konvergiert? Hä? ─ sturmlx 10.12.2021 um 09:42
Unterscheide zwei Fälle. Erster Fall: Unendlich viele \( d_n \) sind größer/gleich \( 1 \). Zweiter Fall: Fast alle \( d_n \) sind kleiner als \( 1 \). Finde für beide Fälle eine Abschätzung nach unten (Vergrößere dazu den Nenner). ─ 42 10.12.2021 um 10:59
Dann $$\frac{d_n}{1+d_n}\geq\frac{d_n}{2nd_n}=\frac{1}{2n}$$ --> das ist eine Form der harmonischen Reihe 1/n. Diese divergiert nach Vorlesungswissen. Also divergiert auch $$\frac{d_n}{1+d_n}$$.
Richtig soweit?
Für den Fall kleiner habe ich im Moment noch nichts.
Und muss ich diese Fallunterscheidung dann bei b), c) und d) auch machen? ─ sturmlx 10.12.2021 um 11:33
Würde die Abschätzung beispielsweise für alle Quadratzahlen gelten (das sind ja unendlich viele), dann wäre die Minorante \( \frac{1}{2} \sum_{m\ge1} \frac{1}{m^2} \) und somit konvergent.
Die Abschätzung \( \frac{d_n}{1+d_n} \ge \frac{d_n}{d_n+d_n} = \frac{1}{2} \) reicht hingegen aus.
Für den zweiten Fall kann man dann \( \frac{d_n}{1+d_n} \ge \frac{d_n}{1+1} = \frac{1}{2}d_n \) abschätzen. Da diese Abschätzung dann für alle \(n \ge N \), erhält man als Minorante \( \frac{1}{2} \sum_{n \ge N} d_n \) und die muss nach Voraussetzung divergieren.
Bei den anderen Aufgaben kommt man mit der gleichen Fallunterscheidung nicht weiter. Da muss man sich etwas anderes einfallen lassen. ─ 42 10.12.2021 um 12:03
Also nochmal danke!!! ─ sturmlx 10.12.2021 um 12:12
Da ich damit aber noch etwas auf Kriegsfuß stehe (es wurde erst in der letzten Vorlesung eingeführt), frage ich lieber nochmal nach:
Wir (oder wohl eher du) haben jetzt gezeigt, dass es eine größere Folge gibt, deren Reihe divergiert, als unsere betrachtete. Also divergiert die betrachtete Reihe nach Minorantenkriterium ebenfalls. Ist das so richtig?
(Ja, mit dem n statt x beim Limes hast du recht. Das hier war mein erstes Mal mit dem Latex-Assisent, das habe ich glatt übersehen :)) ─ sturmlx 10.12.2021 um 09:29