Konvergenz von Reihen

Aufrufe: 105     Aktiv: 10.12.2021 um 19:18

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Guten Morgen!

Ich habe dieses Mal eine Frage zur Konvergenz von Reihen. Konkret lautet die Aufgabe:

Sei (dk)k∈N eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen mit  $$ \lim\limits_{x\to\infty}\sum \limits_{n=1}^{n}d_k = \infty $$
Nun ist die Frage, was wir daraus über die Konvergenz folgender Reihen schließen können:
$$ a) \sum \limits_{n\geq1 } \frac{d_n}{1+d_n} $$ $$ b) \sum \limits_{n\geq1 } \frac{d_n}{1+nd_n} $$

 


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Hier ist das Majorantenkriterium und Minorantenkriterium sehr hilfreich. Beispielsweise ist \(|\frac{d_n}{1+d_n}|=\frac{d_n}{1+d_n}\leq \frac{d_n^2}{1+d_n}\leq \frac{d_n^2}{d_n}=d_n\). Was folgt jetzt hieraus? (Übrigens sollte oben wohl ein \(n\) statt ein \(x\) im Limes stehen)
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Also erstmal tausend Dank für deine Antwort! Dass mir hier das Majoranten-/Minorantenkriterium helfen könnte, daran habe ich gar nicht gedacht - danke, danke danke!
Da ich damit aber noch etwas auf Kriegsfuß stehe (es wurde erst in der letzten Vorlesung eingeführt), frage ich lieber nochmal nach:
Wir (oder wohl eher du) haben jetzt gezeigt, dass es eine größere Folge gibt, deren Reihe divergiert, als unsere betrachtete. Also divergiert die betrachtete Reihe nach Minorantenkriterium ebenfalls. Ist das so richtig?

(Ja, mit dem n statt x beim Limes hast du recht. Das hier war mein erstes Mal mit dem Latex-Assisent, das habe ich glatt übersehen :))
  ─   sturmlx 10.12.2021 um 09:29

Ne warte mal, ich bin verwirrt. Das Minorantenkriterium geht ja gar nicht, weil es quasi die "falsche Richtung" ist oder? Also es müsste gelten, dass dn kleiner als das betrachtete ist, damit es funktioniert.

Aber das Majorantenkrit. geht ja auch nicht, weil dn nicht konvergiert? Hä?
  ─   sturmlx 10.12.2021 um 09:42

Ja, die Antwort ist für a) nicht wirklich hilfreich. Man kann stattdessen folgendermaßen vorgehen:
Unterscheide zwei Fälle. Erster Fall: Unendlich viele \( d_n \) sind größer/gleich \( 1 \). Zweiter Fall: Fast alle \( d_n \) sind kleiner als \( 1 \). Finde für beide Fälle eine Abschätzung nach unten (Vergrößere dazu den Nenner).
  ─   42 10.12.2021 um 10:59

Also ich habe jetzt: Fall 1 - unendlich viele d_n sind größer/gleich 1.

Dann $$\frac{d_n}{1+d_n}\geq\frac{d_n}{2nd_n}=\frac{1}{2n}$$ --> das ist eine Form der harmonischen Reihe 1/n. Diese divergiert nach Vorlesungswissen. Also divergiert auch $$\frac{d_n}{1+d_n}$$.
Richtig soweit?

Für den Fall kleiner habe ich im Moment noch nichts.
Und muss ich diese Fallunterscheidung dann bei b), c) und d) auch machen?
  ─   sturmlx 10.12.2021 um 11:33

Deine Abschätzung ist richtig, aber leider nicht zielführend. Sie gilt ja nur für unendlich viele \( n \) und kann daher nicht mit der harmonischen Reihe verglichen werden. Da muss man also aufpassen.
Würde die Abschätzung beispielsweise für alle Quadratzahlen gelten (das sind ja unendlich viele), dann wäre die Minorante \( \frac{1}{2} \sum_{m\ge1} \frac{1}{m^2} \) und somit konvergent.
Die Abschätzung \( \frac{d_n}{1+d_n} \ge \frac{d_n}{d_n+d_n} = \frac{1}{2} \) reicht hingegen aus.
Für den zweiten Fall kann man dann \( \frac{d_n}{1+d_n} \ge \frac{d_n}{1+1} = \frac{1}{2}d_n \) abschätzen. Da diese Abschätzung dann für alle \(n \ge N \), erhält man als Minorante \( \frac{1}{2} \sum_{n \ge N} d_n \) und die muss nach Voraussetzung divergieren.
Bei den anderen Aufgaben kommt man mit der gleichen Fallunterscheidung nicht weiter. Da muss man sich etwas anderes einfallen lassen.
  ─   42 10.12.2021 um 12:03

Ahh okay, ich danke dir vielmals! Das hilft mir sehr. Für b,c und d lasse ich mir noch etwas anderes einfallen... Unser Übungsleiter meinte, dass bei einigen Aufgaben auch Beispiele ausreichen. Vielleicht finde ich da etwas.
Also nochmal danke!!!
  ─   sturmlx 10.12.2021 um 12:12

Entschuldigung, dass meine Antwort verkehrt herum war, ich habe zu schnell gelesen und gedacht weil die Folge \(d\) heißt, dass die Reihe darüber divergiert, warum sollte man auch sonst eine Folge so benennen...   ─   mathejean 10.12.2021 um 19:18

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