Wie berechnet man den Anschlusspunkt a?

Erste Frage Aufrufe: 60     Aktiv: 01.06.2021 um 16:52

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Hallo, 

ich verstehe die Lösung aus der Aufgabe c nicht. Wäre über eine Erklärung erfreut. Danke .
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1 Antwort
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Moin user4e8c6b.

Hier ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Kugel gesucht. Ich denke das ist im Sachkontext klar - ansonsten gerne nochmal nachfragen. Der Richtungsvektor der Geraden ist der Verbindungsvektor von \(P\) zu \(M\) und der Ortsvektor der Punkt \(P\).

Es wurden die einzelnen Koordinaten der Geradengleichung, also \(x_1 = -2 + 24r\),  \(x_2 = 4 -12 r\)  und  \(x_3 = 0 + 8r\), in die jeweiligen Koordinaten der Kugelgleichung eingesetzt. Das darf hier getan werden, weil du genau die Punkte suchst, die sowohl die Kugelgleichung, als auch die Geradengleichung erfüllen. Du hast dann eine Gleichung mit einer Unbekannten \(r\), die du bestimmen kannst. Dafür die Gleichung zusammenfassen und pq-Formel anwenden. Die beiden Lösungen für \(r\) können dann in die Geradengleichung eingesetzt, und so die Schnittpunkte bestimmt werden. Du musst jetzt nur noch überlegen, welches der im Sachkontext richtige Schnittpunkt ist.

Grüße
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Student, Punkte: 9.63K
 

Klar, das können wir gerne einmal gemeinsam durchgehen! Einsetzen in die Kugelgleichung liefert:

\((-2+24r-22)^2 + (4 - 12 r + 8)^2 + (0 + 8r - 8)^2 = 49\)
und das ist
\((-24+24r)^2+(12-12r)^2 + (-8+8r)^2=49\)

Wie geht es nun weiter?
  ─   1+2=3 01.06.2021 um 01:31

einfaches Wurzelziehen reicht (nach ausklammern und teilen. (49/784 = 1/16)   ─   scotchwhisky 01.06.2021 um 03:59

\(24^2(-1+r)^2 +12^2(1-r)^2+8^2(-1+r)^2=49==> 24^2+12^2+8^2*(1-r)^2=49 ==> 784(1-r)^2=49==> 1-r=\sqrt{1 \over16}= \pm {1 \over4}==r=1 \pm{1 \over 4}\)   ─   scotchwhisky 01.06.2021 um 15:10

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