Lineare Abbildung

Aufrufe: 778     Aktiv: 19.12.2019 um 18:19
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Hallo liebe Community,

Ich bräuchte mal wieder Hilfe bei einer Aufgabe. Dabei hätte ich den Ansatz, dass ich die Lineare Abbildung auf die Axiome überprüfe, allerdings weiß ich nicht wie ich das machen soll. Bei Aufgabenteil b) weiß ich gar nicht was ich machen soll.

Ich hoffe mir kann jemand bei dieser Aufgabe helfen

 

LG

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Student, Punkte: 138

 
Du musst zeigen dass π_i(λa+b) = λπ_i(a) + π_i(b) gilt bei a)   ─   linearealgebruh 16.12.2019 um 11:04
Das ist ja eines der Axiome für lineare Abbildungen. Ich weiß jedoch nicht wie ich das genau beweisen soll.   ─   peterneumann 16.12.2019 um 13:35
Du musst einfach einsetzen. Deine Abbildung π_i macht ja nichts anderes, als von einem Vektor aus dem K^n quasi den i-ten Eintrag auszugeben. Jetzt nimmst du dir zwei Vektoren a und b aus dem K^n, was passiert wenn du sie addierst? Was passiert wenn du die Summe der beiden in deine Abbildung einsetzt?   ─   linearealgebruh 16.12.2019 um 13:42
Also beispielsweise für π_1. Dann nehme ich die Vektoren x_1 und x_2 da i K. x_1 und x_2 währen dann quasi meine Vektoren a und b. Reicht es wenn ich in deinem Axiom a und b durch x_1 und x_2 austausche? Ich weiß ja nicht direkt wie die Vektoren aussehen.   ─   peterneumann 16.12.2019 um 15:05
Klar geht das. Aber du musst die Aussage allgemein für alle π_i zeigen, aber das geht ganz analog   ─   linearealgebruh 16.12.2019 um 15:17
Also π_i(λx_1,...,x_n) = λπ_i(x_1) + ... + π_i(x_n) oder habe ich das falsch verstanden?
Muss ich das danach eventuell noch wie bei Induktion für n+1 zeigen oder reicht das obere als Beweis?   ─   peterneumann 16.12.2019 um 15:33
Ich glaube du hast da was falsch verstanden: Die Abblidung macht folgendes: π_i(x_1, x_2, ... , x_n) = x_i. Stell dir jetzt mal vor, du addierst zwei Vektoren x = (x_1, x_2, ... , x_n) und y = (y_1, y_2, ... , y_n), das ergibt ja zusammen: (x_1 + y_1, x_2 + y_2, ... , x_n + y_n). Das setzt du jetzt in die Abbildung ein: π_i(x_1 + y_1, x_2 + y_2, ... , x_n + y_n). Was kommt da raus?   ─   linearealgebruh 16.12.2019 um 15:56
Spontan würde ich jetzt sagen eine Linearkombination aus den Vektoren x und y also x_i + y_i? Ansonsten wäre ich echt raus und wüsste gar nicht mehr weiter...   ─   peterneumann 16.12.2019 um 17:00
Kann mir sonst vielleicht noch jemand eine Lösung oder einen Ansatz für b geben?   ─   peterneumann 16.12.2019 um 18:51
Genau, ich machs dir einmal vor: Ich schreib jetzt nur π statt π_i.

Seien x,y€K^n, dann: π(λx+y) = π((λx_1, λx_2, ... , λx_n) + (y_1, y_2, ... , y_n)) = π(λx_1 + y_1, λx_2 + y_2, ... , λx_n + y_n) = λx_i + y_i = λπ(x) + π(y)

Das war schon die ganze a). Bei der b musst du jetzt diese Äquivalenz zeigen:

φ linear <=> πoφ linear

Das machst du genauso wie die a eigentlich, einfach nachrechnen   ─   linearealgebruh 16.12.2019 um 21:21
Also verstehe ich es richtig, dass ich statt π einfach π_i schreibe und das dann meine Lösung für a) ist?
Ich habe dein Vorgehen auf jeden Fall verstanden, mir war das mit den Axiomen nur dann doch noch nicht so klar wie ich dachte ^^

Für b): Wenn du sagst ich mache das genauso wie in a heißt das ich nehme mir einen Vektoren aus π_i und einen weiteren aus φ und verknüpfe die beiden miteinander? Also als meine Endlösung dann ... = λπ(x) + φ(y)?   ─   peterneumann 16.12.2019 um 22:39
"Also verstehe ich es richtig, dass ich statt π einfach π_i schreibe und das dann meine Lösung für a) ist?" neeee, du musst schon immer π_i hinschreiben, ich war nur zu faul dieses _i immer mitzunehmen also hab ich das einfach weggelassen und stattdessen nur π geschrieben, das hätte ich vielleicht klarer formulieren müssen.

Bei der b): Also erstmal sind π_i und φ Abbildungen und keine Vektorräume, du kannst dir also nicht einfach so Vektoren aus π_i und φ schnappen, du könntest dir aber Vektoren aus ihren Definitions- oder Wertebereich schnappen, sprich aus den Vektorräumen aus denen sie abbilden / in welche sie rein abbilden. Die Komposition π_i o φ ist eine Abbildung, die erst φ ausführt und dann π_i. φ geht von V nach K^n, π_i geht von K^n nach K, also geht deine Abbildung π_i o φ von V nach K. Nimm dir jetzt wieder zwei Vektoren x,y (diesmal sind die aus V), und mach wieder den hier: [π_i o φ](λx+y). [π_i o φ](λx+y) bedeutet übrigens dasselbe wie π_i[φ(λx+y)].   ─   linearealgebruh 16.12.2019 um 22:51
Wäre das nun meine Lösung für b? (Siehe oben)   ─   peterneumann 17.12.2019 um 19:44
Mmh ne nicht so richtig. Erstens müssen zwei Richtungen gezeigt werden, weil da steht "genau dann wenn", das heißt man muss die Aussage in die eine Richtung und dann in die andere zeigen (in seltenen Fällen kann man auch beide Richtungen gleichzeitig zeigen wenn man nur Äquivalenzumformungen verwendet). In der zweiten zur dritten Zeile verschwindet auch einfach dein φ, aber es ist ja garnicht bekannt, was dieses φ überhaupt macht. Das ist einfach irgendeine beliebige Abbildung von V nach K^n, aber wie ihre Vorschrift aussieht ist nicht bekannt. Ich mach dir mal die eine Richtung vor:

Also, z.z.: φ K-linear <=> π_i o φ linear

"=>" Angenommen, φ ist K-linear. Das bedeutet also: Für x,y€V, λ€K: φ(λx+y) = λφ(x) + φ(y)
Nun soll gezeigt werden, dass auch π_i o φ linear ist. Einsetzen liefert:

[π_i o φ](λx+y) = π_i[φ(λx+y)] = π_i(λφ(x) + φ(y)) = λπ_i(φ(x)) + π_i(φ(y)) = λ[π_i o φ](x) + [π_i o φ](y)
Also: [π_i o φ](λx+y) = λ[π_i o φ](x) + [π_i o φ](y), das bedeutet π_i o φ ist linear. Wir haben hier einfach verwendet, dass π_i und φ linear sind. Die Rückrichtung geht ganz ähnlich, versuch die mal selbst   ─   linearealgebruh 17.12.2019 um 22:18
Muss ich in dem Fall dann einfach zeigen, dass φ o π_i auch linear ist? Also letztlich genau das was du gemacht hast nur halt indem ich die beiden vertausche?   ─   peterneumann 17.12.2019 um 22:27
In welchem Fall meinst du jetzt. Für die Rückrichtung musst du zeigen, dass aus "π_i o φ linear" folgt, dass φ K-linear ist   ─   linearealgebruh 17.12.2019 um 23:06
Habe es leider nicht mehr geschafft mich dran zu setzen aber trotzdem danke für deine Hilfe :)   ─   peterneumann 19.12.2019 um 18:19
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Höre nicht auf die anderen mein fehlgeleitetes Kind. Vertraue dich der Kraft des Herren an und lasse dich von Jesu leiten. Denn er ist die Lösung all deiner Fragen und Zweifel. 

Und wenn es mal ganz ganz unangenhem werden sollte... einfach Jesus42 

Hab noch einen ehrenvollen,geweihten,gesegneten,gelobten Tag 

Mashallah mach nochma 

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