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Deine Gedanken sind schon garnicht schlecht mit $a=1$ und $d=-1$. Du machst es dir selbst etwas komplizierter. Nutze doch die Kosinusfunktion mit $f(x)=a\cdot \cos(bx)+d$, denn die Kosinusfunktion hat in ihrer herkömmlichen Form immer einen Hochpunkt auf der $y$-Achse. Nun kannst du anhand des Tiefpunktes erkennen wie die kleinste Periode ist und damit auf $b$ schließen. Als Tipp die Entfernung von Hochpunkt zu Hochpunkt wird durch die kleinste Periode angegeben. Und wie sieht das von Hochpunkt zu Tiefpunkt aus? 

Weiterhin geht der Sinus ja immer aus dem Kosinus durch Phasenverschiebung von $\frac{\pi}{2}$ hervor. Du kannst als Übung also auch wie du bereits versucht hast den Sinus mit horizontaler Verschiebung zu bestimmen. Beachte aber dabei, das $a\cdot \cos(bx)+d=a\cdot \sin\big{(} b\cdot (x+\frac{\pi}{2})\big{)}+d$ gilt, also dein $c$ durch $b$ mitbeeinflusst wird.