Hallo,

die Normalform nochmal richtig aufgeschrieben lautet

$$ \left[ \vec{x} - \vec{p} \right] \cdot \vec{n} =0 $$

das ist wie die Koordinatenform und die Parameterform eine Gleichung dessen Lösungen alle Punkte sind die auf der Ebene liegen. Bedeutet: Jeder Punkt den wir für \( \vec{x} \) einsetzen und der die Gleichung erfüllt, ist Punkt der Ebene.

Der Grund ist folgender: Der Vektor \( \vec{n} \) ist Normalenvektor der Ebene (er steht also senkrecht zur Ebene und somit senkrecht zu jedem Vektor der in der Ebene liegt). Der Vektor \( \vec{p} \) ist ein Vektor der auf einen Punkt in der Ebene zeigt, also ein beliebiger Punkt der Ebene. 
Wenn wir nun die Differenz zweier Vektoren bilden, erhalten wir als Ergebnis einen Vektor, der von der "Spitze" des einen Vektors, auf die "Spitze" des anderen Vektors zeigt. Nun können zwei Fälle auftretten:
Wir setzen für \( \vec{x} \) einen Punkt ein der in der Ebene liegt. Dadurch erzeugt die Differenz \( \vec{x} - \vec{p} \) einen Vektor der in der Ebene liegt (da er von dem einen Punkt auf den anderen zeigt und ja beide Punkte in der Ebene liegen). Wenn wir dann diesen resultierenden Vektor mit dem Normalenvektor \( \vec{n} \) skalarmultiplizieren, erhalten wir somit Null (da ja beide Vektoren senkrecht zueinander stehen).
Wenn \( \vec{x} \) nicht in der Ebene liegt, erhalten wir durch die Differenz auch keinen Vektor der in der Ebene liegt. Damit können der resultierende Vektor der Differenz und der Normalenvektor nicht senkrecht zueinander stehen und das Skalarprodukt ergibt eine Zahl ungleich Null, ergo der Vektor erfüllt die Gleichung nicht. 

Grüße Christian