Hallo!

Ich soll folgende Aufgabe lösen:
Der Werteverlust eines Autos wird als gemischte Verteilung (mixed distribution) angegeben:
p=0,95, wenn 0 bzw. p=0,05 auf einer Exponentialverteilung (\( \mu \) = 5000\( \$ \)).
Wenn der Werteverlust X mehr als 500\( \$ \) beträgt, wird die Differenz von X - 500\( \$ \)
an den Autobesitzer zurückbezahlt. Das bedeutet also umgekehrt, dass bis zu X=500
kein Betrag rückerstattet wird. Es soll nun die CDF aufgestellt und damit F(1000) berechnet werden.

Meine Interpretation dieses Beispiels:
Ich würde dieses Beispiel so verstehen, dass es sich dabei um eine Versicherung handeln könnte,
die im Falle eines Autounfalls vom Besitzer des zu Schaden gekommenen Autos für eine Kompensation
angefragt wird. Dabei werden für die ersten 500\( \$ \) an Werteverlust nicht von der Versicherung kompensiert (= Selbstbehalt),
danach erfolgt eine 1:1 Rückerstattung (also für 501\( \$ \) = 1\( \$ \) , für 502\( \$ \) = 2\( \$ \), usw...).

@ CDF: 
Y.... Kompensation Versicherung in Abhängigkeit von Werteverlust X des Unfallautos
\( \mu \) = 5000\( \$ \) --> \( \mu \) = \( \frac{1}{\lambda} \) = 5000 --> \( \lambda \) = \( \frac{1}{5000} \)

CDF (mit CDF der Exponentialverteilung):
1. 0               wenn X<0,Y<0
2. 0,95         wenn Y=X=0
3. 0.95 + 0,05(1- \( e^{-\frac{x}{5000}} \))       wenn 0<X\( \le \)500\( \$ \), Y=0
4. 0,95 + 0,05(1- \( e^{-\frac{500}{5000}} \) + (1- \( e^{-\frac{x}{5000}} \) - (1- \( e^{-\frac{500}{5000}} \))) = 0,95 + 0,05(1- \( e^{-\frac{x}{5000}} \))        wenn X>500\( \$ \), Y=(X-500)

@ F(1000)
F(1000) würde bedeuten, dass der Werteverlust X = 1500\( \$ \) & die Auszahlung Y=1000 beträgt.
Daher wäre F(1000) = 0,95 + 0,05(1- \( e^{-\frac{1500}{5000}} \)) = 0,963
Die Wahrscheinlichkeit würde also 96,3\(\%\) betragen, dass ein Wert von 1000\( \$ \) an den Besitzer zurückgezahlt werden muss?!?

Kann das so stimmen? Ich bin mir bezüglich dieser zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit sehr unsicher bzw. auch wegen der größer, kleiner, gleich-Setzungen und allgemeinen Schreibweise...

Danke für eure Hilfe!