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Hallo atideva,
"Dass Komplement von A muss ja eigentlich offen sein"
Hier verstehe ich nicht, was du genau meinst. Wieso muss das Komplement von $A$ offen sein?
Wenn $A$ abgeschlossen wäre (bezüglich der gegebenen Topologie $\tau$), müsste das Komplement $A^c=\mathbb{R}\setminus A$ von $A$ offen sein (bezüglich der gegebenen Topologie $\tau$), d.h. es müsste $A^c\in\tau$ gelten, also $A^c=\emptyset$ oder $X\setminus A^c$ endlich sein. Offenbar gilt aber weder $A^c=\emptyset$ (denn es gilt z.B. $2\in A^c$) noch ist $X\setminus A^c=(A^c)^c=A$ endlich. Also ist $A$ nicht abgeschlossen (bezüglich $\tau$).
"und somit eine Topologie"
Wenn ich dich richtig verstehe, meinst du, das Komplement von $A$ sei eine Topologie? Das ergibt schon deshalb nicht sonderlich viel Sinn, weil das Komplement von $A$ eine Menge von Zahlen und keine Menge von Mengen ist. Richtig wäre, dass $\tau$ eine Topologie ist.
"Sei U=(U_{i})_{iJ} eine offene Überdeckung von A. Das wäre dann z.B. ]-2,-1,0,1,2[."
Ich weiß nicht, was du mit der Notation ]-2,-1,0,1,2[ meinst.
Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das eine offene Überdeckung von $A$ sein kann: Was soll bei dir $J$ sein und was die offenen Mengen $U_i$ für $i\in J$?
"Ist mir zumindest einigermassen klar."
Ist dir klar, was mit $U_0\in U$ gemeint ist?
Ist dir klar, warum ein $U_0\in U$ existiert? (Hier geht ein, dass $A\neq\emptyset$ ist. Die spätere Aussage aus der "Lösung", dass keine Eigenschaften von $A$ benutzt wurden, stimmt also nicht ganz.)
Die Behauptung aus der "Lösung", dass $A\setminus U_0$ endlich sei, stimmt nur im Falle $U_0\neq\emptyset$. (Abhilfevorschlag: Wir überlegen uns, dass ein $U_0\in U$ mit $U_0\neq\emptyset$ existiert und wählen gleich ein solches $U_0$.)
Ist dir klar, warum $A\setminus U_0$ im Falle $U_0\neq\emptyset$ endlich ist?
Ist dir klar, dass jede endliche Menge die Gestalt $\{x_1,\ldots,x_n\}$ für ein $n\in\mathbb{N}_0$ und gewisse Objekte $x_1,\ldots,x_n$ hat?
Ist dir klar, dass für $i=1,\ldots,n$ jeweils ein $U_i\in U$ mit $x_i\in U_i$ existiert?
Dass $U_0\cup\bigcup_{i=1}^nU_i$ eine offene (Teil-)Überdeckung von $A$ ist, muss man nachprüfen.
Ist dir eigentlich klar, was eine offene Überdeckung ist?
Wenn nein, wäre es sinnvoll gewesen, direkt danach zu fragen!
Statt "ist mir einigermaßen klar" wären konkretere Rückfragen (z.B. Wie ist ... gemeint? / Warum gilt ....?) hilfreich.
Viele Grüße
Tobias
"Dass Komplement von A muss ja eigentlich offen sein"
Hier verstehe ich nicht, was du genau meinst. Wieso muss das Komplement von $A$ offen sein?
Wenn $A$ abgeschlossen wäre (bezüglich der gegebenen Topologie $\tau$), müsste das Komplement $A^c=\mathbb{R}\setminus A$ von $A$ offen sein (bezüglich der gegebenen Topologie $\tau$), d.h. es müsste $A^c\in\tau$ gelten, also $A^c=\emptyset$ oder $X\setminus A^c$ endlich sein. Offenbar gilt aber weder $A^c=\emptyset$ (denn es gilt z.B. $2\in A^c$) noch ist $X\setminus A^c=(A^c)^c=A$ endlich. Also ist $A$ nicht abgeschlossen (bezüglich $\tau$).
"und somit eine Topologie"
Wenn ich dich richtig verstehe, meinst du, das Komplement von $A$ sei eine Topologie? Das ergibt schon deshalb nicht sonderlich viel Sinn, weil das Komplement von $A$ eine Menge von Zahlen und keine Menge von Mengen ist. Richtig wäre, dass $\tau$ eine Topologie ist.
"Sei U=(U_{i})_{iJ} eine offene Überdeckung von A. Das wäre dann z.B. ]-2,-1,0,1,2[."
Ich weiß nicht, was du mit der Notation ]-2,-1,0,1,2[ meinst.
Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das eine offene Überdeckung von $A$ sein kann: Was soll bei dir $J$ sein und was die offenen Mengen $U_i$ für $i\in J$?
"Ist mir zumindest einigermassen klar."
Ist dir klar, was mit $U_0\in U$ gemeint ist?
Ist dir klar, warum ein $U_0\in U$ existiert? (Hier geht ein, dass $A\neq\emptyset$ ist. Die spätere Aussage aus der "Lösung", dass keine Eigenschaften von $A$ benutzt wurden, stimmt also nicht ganz.)
Die Behauptung aus der "Lösung", dass $A\setminus U_0$ endlich sei, stimmt nur im Falle $U_0\neq\emptyset$. (Abhilfevorschlag: Wir überlegen uns, dass ein $U_0\in U$ mit $U_0\neq\emptyset$ existiert und wählen gleich ein solches $U_0$.)
Ist dir klar, warum $A\setminus U_0$ im Falle $U_0\neq\emptyset$ endlich ist?
Ist dir klar, dass jede endliche Menge die Gestalt $\{x_1,\ldots,x_n\}$ für ein $n\in\mathbb{N}_0$ und gewisse Objekte $x_1,\ldots,x_n$ hat?
Ist dir klar, dass für $i=1,\ldots,n$ jeweils ein $U_i\in U$ mit $x_i\in U_i$ existiert?
Dass $U_0\cup\bigcup_{i=1}^nU_i$ eine offene (Teil-)Überdeckung von $A$ ist, muss man nachprüfen.
Ist dir eigentlich klar, was eine offene Überdeckung ist?
Wenn nein, wäre es sinnvoll gewesen, direkt danach zu fragen!
Statt "ist mir einigermaßen klar" wären konkretere Rückfragen (z.B. Wie ist ... gemeint? / Warum gilt ....?) hilfreich.
Viele Grüße
Tobias
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tobit
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 275
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Hallo Tobias, ich habe jetzt Antwort etwas genauer durchgelesen. Ich glaube bei mir lichtet sich das ganze langsam. Es kann aber durchaus sein, dass ich morgen noch mit 1-2 Fragen durchkomme. Ich musste heute nachmittag erstmal ca 10 km laufen um hier wieder etwas klarer denken zu können.
Ich wünsche euch noch einen schönen Abend. ─ atideva 13.10.2022 um 19:39
Ich wünsche euch noch einen schönen Abend. ─ atideva 13.10.2022 um 19:39
Jetzt melde ich mich doch nochmal. Was Wikipedia angeht, ich habe erst jetzt, nach nochmaligem Durchlesen der Antwort von Tobias das ganze etwas,- wobei die Betonung auf etwas genauer liegt -verstanden. Es ist möglich, aber nicht sicher, dass ich jetzt den Artikel über offene Mengen in Wikipedia besser verstehen. Wie gesagt, sofern es da noch Unklarheiten bei mir gibt, werde ich mich nochmal hier zu Wort melden.
─
atideva
13.10.2022 um 20:08