Ich glaube, du denkst zu kompliziert. Bei dieser Aufgabe reichen ganz grobe Abschätzungen. Ich würde folgendermaßen vorgehen:

Zunächst ist

\( a_n = \frac{4n^2+n+1}{2n^2+1} \ge \frac{4n^2+2}{2n^2+1} = \frac{2(2n^2+1)}{2n^2+1} = 2 \)

also

\( a_n - 2 \ge 0 \)

Damit erhalten wir

\( \vert a_n - 2 \vert = a_n - 2 = \frac{4n^2+n+1}{2n^2+1} - 2 < \frac{4n^2+2n}{2n^2} - 2 = \frac{1}{n} \)

Unsere Abschätzung ist also

\( \vert a_n - 2 \vert < \frac{1}{n} \)

Für \( n \ge N(\varepsilon) := \lceil \varepsilon^{-1} \rceil \) erhalten wir damit die gewünschte Ungleichung

\( \vert a_n - 2 \vert < \frac{1}{n} \le \frac{1}{ \lceil \varepsilon^{-1} \rceil} \le \frac{1}{\varepsilon^{-1}} = \varepsilon \)

Für \( \varepsilon = 1 \) können wir demnach \( N( \varepsilon ) = \lceil 1^{-1} \rceil = 1 \) und für \( \varepsilon = \frac{1}{10} \) können wir \( N( \varepsilon ) = \lceil (\frac{1}{10})^{-1} \rceil = 10 \) wählen.