Gleichungen lösen mit komplexen Zahlen.

Aufrufe: 757     Aktiv: 11.05.2021 um 21:21

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Ich schaue mir gerade dieses geniale Video an und habe eine Folge-Frage dazu:
er zeigt ja, wie man mit imaginären bzw. komplexen Zahlen Gleichungen wie \( x^3 = 1 \) oder \( x^8 = 1 \) lösen kann, ohne sie ewig zerlegen zu müssen. Man überlegt sich, wie reelle Zahlen wie die 1 in der Polarform aussehen. Dann erinnert man sich, dass Multiplikation mit komplexen Zahlen bedeutet, dass die Radien multipliziert und die Winkel addiert werden und findet dann ziemlich leicht eine visuelle Lösung. Soweit so gut.

Ich frage mich: könnte man mit dieser Methode auch Gleichungen wie \( 2^3 \) oder \( x^3+2x^2+17x+8 = 0 \) lösen? Einer in den Kommentaren hat das vorgeschlagen, aber mir ist nicht ganz klar, wie man die Erkenntnis aus dem Video auf genannte Gleichungen anwenden könnte. Kann mir da jemand helfen?

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Ich kann nicht mal raten, was der Kommentator mit \(2^3\) meinte. Das ist keine Gleichung, es kommt nicht mal eine Variable vor.
\(x^3+2x^2+17x+8=0\) ist immerhin schein eine Gleichung. Ich sehe leider keinen Weg, diese Gleichung mit Polarkoordinaten zu lösen. Man kann sich überlegen, dass die Lösungen immer noch (genau wie bei \(x^3=1\)) ein symmetrisches Dreieck bilden.
Sowohl Polarkoordinaten als auch komplexe Einheitswurzeln sind nützliche Werkzeuge in vielen Bereichen der Mathematik, aber helfen selten beim Lösen von Polynomgleichungen, die nicht von der Form \((z-a)^n=b\) sind.
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Alles klar, Polynomdivision war auch mein erster Gedanke. Dann war der gute Mann wohl ein bisschen übereifrig. Danke auf jeden Fall für die Antwort.   ─   akimboslice 11.05.2021 um 21:21

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