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Wenn N=10 ist, ist Deine Formel für P(E1) korrekt.
Bei P(E2 unter der Bedingung E1) habe ich was anderes raus:
\( \large P(E2|E1)= \displaystyle \binom{k-k_1}{k_2} \frac
{ (N-2)^{k-k1-k2}}
{(N-1)^{k-k1}}
\),
wobei \(0^0=1\).
Bei P(E2 unter der Bedingung E1) habe ich was anderes raus:
\( \large P(E2|E1)= \displaystyle \binom{k-k_1}{k_2} \frac
{ (N-2)^{k-k1-k2}}
{(N-1)^{k-k1}}
\),
wobei \(0^0=1\).
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m.simon.539
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wie genau kommst du auf den Bruch. danke und lg
─
user065e92
19.10.2023 um 06:36
Es ist
\(\displaystyle P(E_1) = \binom{k}{k_1} \frac{(N-1)^{k-k_1}}{N^k} \)
Das hast Du ja auch herausgefunden.
Ferner gilt:
\(\displaystyle P(E_1 \cup E_2) = \binom{k}{k_1} \binom{k-k_1}{k_2} \frac{(N-2)^{k-k_1-k_2}}{N^k} \).
Denn:
Wenn \(E_1\) und \(E_2\) stattgefunden haben, dann sind in der ersten Urne \(k_1\) und in der zweiten Urne \(k_2\) Kugeln.
Die \(k_1\) Kugeln in Urne 1 kann man aus den k Kugeln beliebig wählen. Macht \(\displaystyle \binom{k}{k_1}\) Möglichkeiten.
Die \(k_2\) Kugeln in Urne 2 kann man dann aus den verbleibenden \(k-k_1\) Kugeln beliebig wählen. Macht \(\displaystyle \binom{k-k_1}{k_2}\) Möglichkeiten.
Bei jeder restlichen \(k-k_1-k_2\) Kugeln hat man die Wahl, ob man sie in Urne 3, Urne 4,.... oder Urne N wirft.
Macht N-2 Möglichkeiten pro Kugel. Macht \((N-2)^{k-k_1-k_2}\) Möglichkeiten für die restlichen Kugeln.
Das ergibt \(\displaystyle \binom{k}{k_1} \binom{k-k_1}{k_2} (N-2)^{k-k_1-k_2}\) Möglichkeiten, \(E_1 \cup E_2\) darzustellen.
Bei \(N^k\) Möglichkeiten, die k Kugeln beliebig auf N Urnen zu verteilen, ergibt sich die angegebene Formel für \(P(E_1 \cup E_2)\).
Dann folgt:
\(\displaystyle \Large P(E_1 | E_2) = \frac{.P(E_1 \cup E_2)}{P(E_2)} \;=\;
\frac
{\binom{k}{k_1} \binom{k-k_1}{k_2} \frac{(N-2)^{k-k_1-k_2}}{N^k}}
{\binom{k}{k_1} \frac{(N-1)^{k-k_1}}{N^k}}
\;=\
\binom{k-k_1}{k_2} \frac{(N-2)^{k-k_1-k_2}}{(N-1)^{k-k_1}}
\)
─ m.simon.539 19.10.2023 um 21:22
\(\displaystyle P(E_1) = \binom{k}{k_1} \frac{(N-1)^{k-k_1}}{N^k} \)
Das hast Du ja auch herausgefunden.
Ferner gilt:
\(\displaystyle P(E_1 \cup E_2) = \binom{k}{k_1} \binom{k-k_1}{k_2} \frac{(N-2)^{k-k_1-k_2}}{N^k} \).
Denn:
Wenn \(E_1\) und \(E_2\) stattgefunden haben, dann sind in der ersten Urne \(k_1\) und in der zweiten Urne \(k_2\) Kugeln.
Die \(k_1\) Kugeln in Urne 1 kann man aus den k Kugeln beliebig wählen. Macht \(\displaystyle \binom{k}{k_1}\) Möglichkeiten.
Die \(k_2\) Kugeln in Urne 2 kann man dann aus den verbleibenden \(k-k_1\) Kugeln beliebig wählen. Macht \(\displaystyle \binom{k-k_1}{k_2}\) Möglichkeiten.
Bei jeder restlichen \(k-k_1-k_2\) Kugeln hat man die Wahl, ob man sie in Urne 3, Urne 4,.... oder Urne N wirft.
Macht N-2 Möglichkeiten pro Kugel. Macht \((N-2)^{k-k_1-k_2}\) Möglichkeiten für die restlichen Kugeln.
Das ergibt \(\displaystyle \binom{k}{k_1} \binom{k-k_1}{k_2} (N-2)^{k-k_1-k_2}\) Möglichkeiten, \(E_1 \cup E_2\) darzustellen.
Bei \(N^k\) Möglichkeiten, die k Kugeln beliebig auf N Urnen zu verteilen, ergibt sich die angegebene Formel für \(P(E_1 \cup E_2)\).
Dann folgt:
\(\displaystyle \Large P(E_1 | E_2) = \frac{.P(E_1 \cup E_2)}{P(E_2)} \;=\;
\frac
{\binom{k}{k_1} \binom{k-k_1}{k_2} \frac{(N-2)^{k-k_1-k_2}}{N^k}}
{\binom{k}{k_1} \frac{(N-1)^{k-k_1}}{N^k}}
\;=\
\binom{k-k_1}{k_2} \frac{(N-2)^{k-k_1-k_2}}{(N-1)^{k-k_1}}
\)
─ m.simon.539 19.10.2023 um 21:22