Berechnung der Wahrscheinlichkeit P (E1 ∩ E2)

Aufrufe: 214     Aktiv: 19.10.2023 um 21:22

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Wir haben N Urnen und k Bälle. Jeder Ball wird in eine zufällig ausgewählte Urne gelegt, und die Bälle werden unabhängig von einander platziert. Es sei E1 das Ereignis, dass in der ersten Urne k1 Bälle sind und E2, dass in der zweiten Urne k2 Bälle sind, wobei k1 und k2 ganze Zahlen sind. Berechne die Wahrscheinlichkeit P (N ; k; k1; k2) = P (E1 ∩ E2) Sind die beiden Ereignisse unabhängig?

Wären die Berechnung richtig P(E1) = (k k1) 1/10^k1 (1-1/10)^k-k1?
bzw P(E2 unter der Bedingung E1)= (k-k1 k2) 1/10^k2 (1-1/10)^k-k1-k2
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1 Antwort
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Wenn N=10 ist, ist Deine Formel für P(E1) korrekt.
Bei P(E2 unter der Bedingung E1) habe ich was anderes raus:
\( \large  P(E2|E1)= \displaystyle \binom{k-k_1}{k_2} \frac
  { (N-2)^{k-k1-k2}}
  {(N-1)^{k-k1}}
\),
wobei \(0^0=1\).
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wie genau kommst du auf den Bruch. danke und lg   ─   user065e92 19.10.2023 um 06:36

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Es ist
\(\displaystyle P(E_1) = \binom{k}{k_1} \frac{(N-1)^{k-k_1}}{N^k} \)
Das hast Du ja auch herausgefunden.

Ferner gilt:
\(\displaystyle P(E_1 \cup E_2) = \binom{k}{k_1} \binom{k-k_1}{k_2} \frac{(N-2)^{k-k_1-k_2}}{N^k} \).
Denn:
Wenn \(E_1\) und \(E_2\) stattgefunden haben, dann sind in der ersten Urne \(k_1\) und in der zweiten Urne \(k_2\) Kugeln.
Die \(k_1\) Kugeln in Urne 1 kann man aus den k Kugeln beliebig wählen. Macht \(\displaystyle \binom{k}{k_1}\) Möglichkeiten.
Die \(k_2\) Kugeln in Urne 2 kann man dann aus den verbleibenden \(k-k_1\) Kugeln beliebig wählen. Macht \(\displaystyle \binom{k-k_1}{k_2}\) Möglichkeiten.
Bei jeder restlichen \(k-k_1-k_2\) Kugeln hat man die Wahl, ob man sie in Urne 3, Urne 4,.... oder Urne N wirft.
Macht N-2 Möglichkeiten pro Kugel. Macht \((N-2)^{k-k_1-k_2}\) Möglichkeiten für die restlichen Kugeln.
Das ergibt \(\displaystyle \binom{k}{k_1} \binom{k-k_1}{k_2} (N-2)^{k-k_1-k_2}\) Möglichkeiten, \(E_1 \cup E_2\) darzustellen.
Bei \(N^k\) Möglichkeiten, die k Kugeln beliebig auf N Urnen zu verteilen, ergibt sich die angegebene Formel für \(P(E_1 \cup E_2)\).

Dann folgt:
\(\displaystyle \Large P(E_1 | E_2) = \frac{.P(E_1 \cup E_2)}{P(E_2)} \;=\;
\frac
{\binom{k}{k_1} \binom{k-k_1}{k_2} \frac{(N-2)^{k-k_1-k_2}}{N^k}}
{\binom{k}{k_1} \frac{(N-1)^{k-k_1}}{N^k}}
\;=\
\binom{k-k_1}{k_2} \frac{(N-2)^{k-k_1-k_2}}{(N-1)^{k-k_1}}
\)


  ─   m.simon.539 19.10.2023 um 21:22

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