Fragen zur Eigenschaft einer Relation

Aufrufe: 117     Aktiv: 14.06.2021 um 14:32

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Hallo,
Ich könnte Hilfe bei der Überprüfung meiner Lösungen zu der folgenden Aufgabe gebrauchen:



(a)  R ist dichtotom <=>   \( R \subseteq M \times M \land \forall \) {x,y \( \in R   | (x,y) \in R <-> (y, x) \notin R \) } 
      (Hier bin ich mir nicht sicher, ob der linke Teil der Äquivalenz hier auch gefragt ist.)

(b)  R1: Dichotom, da (1, 1), (2, 2) nicht beachtet wegen \( x \neq y \) und zu (1, 2), (3, 2) und (1, 3) fehlt das Gegenstück

      R2: Dichotom, da (3, 3) nicht beachtet wegen \( x \neq y \) und zu (1, 2) und (1, 3) fehlt das Gegenstück
             (Ein Komillitone meinte, dies sein nicht dichotom weil ein Tupel fehlt, dass 2 und 3 verbindet?)
     
      R3: Ja, denn die Relation ist grundsätzlich eine Teilmenge und diese kann auch leer sein?

     R4: Nicht dichotom, weil kein Tupel und somit keine Relation?

      R5:  Dichotom, denn wenn x Kind von y ist, dann ist y nicht Kind von x  ?

Zusatz:   
      
     R6:  R6 = { (1,1) } -> Wäre diese Relation dichotom? 

     R7:  R7 = { (1, 2) } -> Wäre diese Relation dichotom?
            
            (Ich frage mich hier, weil in der Definition ja steht "für alle x,y \( \in \) M mit x \( \neq \) y gilt:"

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit.
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Student, Punkte: 16

 
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1 Antwort
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Zu (a): Da in der Def. "genau dann, wenn" steht, was \(\iff\) bedeutet, sollte \(\iff \) auch in der formalen Notation stehen.
Zu (b): Die Äquivalenz ist für ALLE Paare zu prüfen (mit \(x\neq y\)). Das macht bei R1 keinen Unterschied, bei R2 aber schon (denke die Aussage des Kommilitonen durch).
R3: Auch die leere Menge ist eine Menge, die Teilmenge von MxM ist. Prüfe auch hier für alle möglichen Paare, ob die Äquivalenz erfüllt ist, d.h. für alle \((x,y)\in\emptyset ...\).
R4: richtig, keine Relation.
R5: Auch hier: Äquivalenz beachten: Du bist nicht Kind Deines Onkels, also....?
R6: vgl R3
R7: vgl R2
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Hallo,
Danke für die Antwort.

Zu R2:
Also was möchtest du mir denn damit sagen?
Bedeutet das also, dass in einer Relation alle Elemente der Menge vorkommen müssen? Ich dachte weil eine Relation per Definition eine Teilmenge ist, deswegen müssen auch nicht alle Elemente darin vorkommen.
Und selbst wenn, die 3 ist doch in dem Tupel (3, 3) vorhanden?

Ich verstehe auch den Hinweis zu R3 nicht, im Endeffekt hat doch R3 gar keine Elemente.

Umgangssprachlich formuliert bedeutet dichotom doch, dass wenn in der Relation ein Tupel mit Elementen der Menge enthalten ist, es nicht ein Tupel mit beiden Elementen in umgekehrter Richtung gibt, oder?

Zu R5:
Ich würde doch in dieser Beziehung gar kein Tupel mit meinem Onkel bilden. Ich hatte das so verstanden: Ich bin Kind meiner Mutter aber meine Mutter nicht mein Kind, daher ist unsere Beziehung dichotom.

  ─   geronimo0815 12.06.2021 um 23:06

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Der Punkt mit der Äquivalenz ist bei Dir noch nicht angekommen. Z.B. bei
"Umgangssprachlich formuliert ...wenn ...., es [dann] nicht ein Tupel mit ..."
Nein, bedeutet es eben nicht. Weil "wenn dann" keine Äquivalenz ist. Eine Äquivalenz hat ZWEI Richtungen, die von rechts nach links hast Du bisher nicht berücksichtigt.
Anders als Dein Kommilitone.
In R2 hat Dir Dein Kommilitone eine konkrete Kombination (oder zwei), die zu prüfen sind. Bei R5 hab ich Dir eine genannt. Nicht intuitiv prüfen, sondern formal in kleinen Shritten.
Ggf. sollest Du die Aussagenlogik nochmal wiederholen: Thema, wann ist eine Folgerung wahr, wann ist eine Äquivalenz wahr.
Auch mein Hinweis zu R3 bezieht sich auf Aussagenlogik. Wenn \((x,y)\in \emptyset...\). Nicht intuitiv argumentieren, sondern formal.
  ─   mikn 13.06.2021 um 11:38

Ok mit etwas Abstand habe ich es jetzt besser verstanden. Ich stand da etwas auf dem Schlauch.
R ist ja Teilmenge des Kartesischen Produkts von M und darin sind ja alle möglichen Element Kombinationen enthalten. Und R ist eben NUR dichotom, wenn jedes Tupel, dass X und Y verbindet enthalten ist aber nur in einer Richtung, das Gegenstück darf nicht enthalten sein.

Bei R3 und R6 gibt es jedoch weder (xRy) noch (yRx), also sind diese nicht dichotom, korrekt?

Zu R5: Ok jetzt ist mir klar, ich muss mir die Beziehung von jedem Menschen zu jedem anderen Menschen anschauen und wenn der eine nicht dass Kind des anderen ist, dann muss der andere Kind des einen sein, damit die Beziehung dichotom ist.


  ─   geronimo0815 14.06.2021 um 10:52

Du bist ein Stück weiter, aber ganz durch noch nicht.
"Und R ist eben NUR dichotom, wenn jedes Tupel, dass X und Y verbindet enthalten ist aber nur in einer Richtung, das Gegenstück darf nicht enthalten sein."
Das stimmt nicht, da fehlt was.... Äquivalenz....
R3 ist ein aussagenlogischer Sonderfall.
R5: Klingt erstmal gut, aber solange da "wenn ... dann" steht, traue ich der Sache nicht.
Bei R2 und R5 hast Du konkrete Paare gesagt bekommen, schreib die Def. für diese wörtlich ab (NUR ABSCHREIBEN!! dabei NICHTS weglassen), dann schreib unter die Aussagen (Relationspaare) die Wahrheitsgehalte (w,f) und prüfe auf Äquivalenz.
Nicht intuitiv, und nicht im Kopf erledigen, schriftlich. Das ist dann auch schon ein großer Teil des Beweises.
Es gibt bei Relationen sehr ähnliche Begriffe: dichotom, asymmetrisch, antisymmetrisch. Wenn man da nicht auf Details und auf die Aussagenlogik achtet, ist man verloren.
  ─   mikn 14.06.2021 um 11:32

Äquivalenz bedeutet beide Seiten der Gleichung müssen wahr sein.
Ich meinte hier ausdrücklich nicht das "wenn, ... dann" der Subjunktion.

Ich habe wirklich versucht, diese Aufgaben zu lösen und auch die Antworten zu überdenken.

Ich habe ja zu R3 schon am Anfang geschrieben, dass Dichotomie zutrifft. Deine Antwort darauf ließ mich das in Zweifel ziehen. Nun ist das Gegenteil aber doch falsch?
Könntest du mir hier bitte einfach die richtige Antwort aufzeigen?

Also zu R2: (3R2) <=> !(2R3)
f w Äquivalenz also nicht erfüllt.
  ─   geronimo0815 14.06.2021 um 12:34

Das letzte zu R2 stimmt genau. Jetzt hast Du's! Es ist nun dichotom oder nicht? Es fehlen noch R4-7 (Ergebnis und Begründungen).
Zu R3 gleich mehr.
  ─   mikn 14.06.2021 um 12:50

R4: R = {1} Hat kein Tupel und bildet somit keine Relation zwischen Elementen ab. (Und {4} ist keine Teilmenge des Kartesischen Produkts von M, denke ich)
R5: Ich--bin_leibliches_Kind_von--Mein_Onkel <=> \( \lnot \) Mein_Onkel--ist_leibl._Kind_von--Mir
______________________________f_____________________________w________________________
Äquivalenz also nicht erfüllt

R6 und R7:
Für beide gilt beispielhaft (3R2) <=> \( \lnot \)(2R3)
_________________________f________w__________________
Äquivalenz also nicht erfüllt
  ─   geronimo0815 14.06.2021 um 13:26

Sorry, ich war mit den Nummern durcheinander. R4 hatten wir ja schon.
Die Aufgabe lautet zu prüfen ob dichotom oder nicht. Solange das nicht da steht würdest Du bei mir keine volle Punktzahl kriegen. Ansonsten ok.
Zu R3: Das wichtigere an den Aufgaben ist nicht die Frage, ob dichotom oder nicht (Du wirst diesen Begriff vermutlich nie mehr im Leben brauchen), sondern das Üben mit neuen Begriffen sauber umzugehen, und sauber zu begründen. Die saubere, klare Begründung fehlte noch.
R3 ist dichotom, denn ist zu zeigen: Für alle \((x,y)\in \emptyset\) mit \(x\neq y \Longrightarrow\) irgendwas.
Die Voraussetzung \((x,y)\in\emptyset\) ist aber stets falsch, und eine Implikation, deren Voraussetzung falsch ist (also \(A\Longrightarrow B\) mit \(A\) falsch) ist stets wahr. D.h. die Bedingung ist erfüllt.
Dieses Argument kommt nicht selten vor.
  ─   mikn 14.06.2021 um 13:36

Alles klar, Vielen Dank! Hier liegt also eine "versteckte" Implikation vor, die mir nicht aufgefallen ist.   ─   geronimo0815 14.06.2021 um 14:32

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