Für die Anwendung von Regeln muss man diese meistens auf "normale" PRen umschreiben. "Normal" ist \(\sum\limits_{i=0}^\infty b_i\cdot x^i\). Merkregel: \(b_i\) ist der Koeffizient von \(x^i\).
Für Dein erstes Beispiel gilt also:
\(\sum\limits_{i=0}^\infty b_i\cdot x^i = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot x^{2k}\) mit \(b_i=\begin{cases} a_{\frac{i}2} & \text{falls } i \text{ gerade}\\  0 & \text{falls } i \text{ ungerade}\end{cases}\).

Merkregel verinnerlichen: Was auch meistens hilft: Die Summen ausschreiben als das, wofür sie stehen (das Summenzeichen ist nur ein Abkürzungssymbol). Kriegst Du damit das zweite Beispiel hin?