Beschränktheit, Mengen

Aufrufe: 239     Aktiv: 06.11.2022 um 19:52

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Hallo, könnte mir vielleicht jemand helfen, wie ich an diese Aufgabe herangehen kann? Vg

EDIT vom 05.11.2022 um 21:04:

Skizze:

EDIT vom 05.11.2022 um 21:19:

Skizze

EDIT vom 05.11.2022 um 22:18:

Definition

EDIT vom 06.11.2022 um 11:09:

Skizze
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Skizze! Zahlengerade, und markiere dort irgendwelche Stellen, so dass diese eine beschränkte Menge bilden. Dann markiere auf der Zahlengeraden $a$ und $b$.
Wie kann man nun $a$ und $b$ rechnerisch angeben?

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Lehrer/Professor, Punkte: 31.96K

 

Vielen Dank für die Antwort! Leider komm ich einfach nicht drauf, wie a und b rechnerisch dargestellt werden könnten   ─   userff1974 05.11.2022 um 20:46

Dann mach es an einem Beispiel. Nimm die Menge $M=\{4,5,6,12,13,99\}$. Was sind $a$ und $b$?   ─   cauchy 05.11.2022 um 20:50

a wäre 4 und b wäre 99. Dann gilt ja für alle m aus M, dass sie nicht kleiner oder größer als a oder b sind. Wie wäre das dann zu beweisen?   ─   userff1974 05.11.2022 um 20:58

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Wo ist Deine Skizze? Wieso dieses a, dieses b? Gibt es auch andere?   ─   mikn 05.11.2022 um 20:59

Leider komm ich irgendwie nicht drauf, könnten a und b vielleicht immer zwei benachbarte Zahlen aus M sein?   ─   userff1974 05.11.2022 um 21:08

Jetzt hast Du die Zahlen von cauchy genommen, weil Dir selbst keine eingefallen sind?!
Die Menge ist nach Voraussetzung beschränkt, es gibt also $S>0$ mit.... zeichne das in die Skizze ein. Schlag die Def. von "beschränkte Menge" nach.
  ─   mikn 05.11.2022 um 21:09

Also das $a$ und $b$ aus meinem Beispiel sind nicht benachbart...   ─   cauchy 05.11.2022 um 21:11

Welche Def. von "beschränkt" verwendet Ihr? Es gibt mehrere Varianten. Aber keinesfalls ist die obere Schranke eine Zahlenmenge.   ─   mikn 05.11.2022 um 21:22

Also ich hab es so gelernt, dass alle x die auf dem zahlenstrahl nach der Menge kommen obere Schranken sind, wobei die kleinste das supremum ist   ─   userff1974 05.11.2022 um 21:26

Nochmal: Wie lautet die Def.?   ─   mikn 05.11.2022 um 21:47

Definition Beschränktheit: Es gibt ein Element x aus R für alle m aus M, wofür gilt: s<=x (Dann ist die Menge nach oben beschränkt). zur unteren Beschränktheit dann analog   ─   userff1974 05.11.2022 um 21:52

Schreib die Def. erstmal richtig ab. Das wäre ein guter Anfang.
Außerdem ist das die Def. von "nach oben beschränkt" (bzw. "nach unten beschränkt"). Daher noch einmal: Wie lautet die Def. von "beschränkt"?
Der Sinn solcher Aufgaben ist es, sich mit den Begriffen auseinanderzusetzen. Damit hast Du jetzt gerade angefangen, das ist schonmal gut.
  ─   mikn 05.11.2022 um 21:55

Meines Wissens nach ist die Definition von beschränkt, dass es eine obere und untere Schranke gibt.   ─   userff1974 05.11.2022 um 22:00

Das ist EINE Def. von beschränkt, es gibt auch eine andere. Hast Du nachgeschlagen in den Unterlagen zu Deiner Lehrveranstaltung? Gibt es danach noch einen Satz zu beschränkten Mengen?   ─   mikn 05.11.2022 um 22:03

Leider finde ich explizit zur Beschränktheit keine weitere Definition. Lediglich, dass eine beschränkte Menge ein Infimum und Supremum besitzt   ─   userff1974 05.11.2022 um 22:10

Ich bin nur skeptisch, weil Du sagst "meines Wissens". Das sollte man eben nachschlagen. Ich gehe jetzt mal davon aus, dass das die Def. aus Deiner Lehrveranstaltung ist.
Dann schreib (nicht nur denken, richtig schreiben mit Stift und Papier) die beiden Def. (nach oben bzw. unten beschränkt) ab, aber richtig (erster Versuch hat ja nicht geklappt). Dann vergleiche mit der Aufgabenstellung.
  ─   mikn 05.11.2022 um 22:13

Aha, geht doch. Nenne besser die obere Schranke $S_o$ und die untere $S_u$ (zur Unterscheidung) und zeichne beide irgendwo (keine Spezialfälle) in die Skizze ein.   ─   mikn 05.11.2022 um 22:42

Entschuldigen Sie die verspätete Antwort. Ich habe die Skizze jetzt gepupdatet   ─   userff1974 06.11.2022 um 11:10

Ok, was ist jetzt Deine Vermutung, was a und b ist? Allgemein, nicht nur im Beispiel.   ─   mikn 06.11.2022 um 11:56

Ich würde vermuten, dass a das Infimum und gleichzeitig Minimum, und b Supremum und gleichzeitig Maximum von A ist.   ─   userff1974 06.11.2022 um 15:03

Gehe schrittweise vor. Was $a,b$ ist, darfst Du Dir ja selbst aussuchen. Was wählst Du? Und was bleibt noch zu zeigen?   ─   mikn 06.11.2022 um 15:13

Achso, kann es sein dass a und b in der Menge alles sein dürfen, solange sie angeordnet sind? Also auch gleich(a=b). Die Menge dürfte also nur nicht leer sein, sonst wäre sie ja auch nicht beschränkt   ─   userff1974 06.11.2022 um 16:02

Gerne führe ich Dich schrittweise zur Lösung. Aber wenn Du auf meine Fragen nicht antwortest, kommen wir nicht weiter.   ─   mikn 06.11.2022 um 16:05

Es tut mir leid, ich verstehe bloß irgendwie gerade das alles nicht wirklich. Ich versuche es nochmal: Wenn ich a und b frei wählen darf wähle ich einfach mal a=2 und b=6. Zu beweisen ist ja, dass die Menge ein kleinstes und größtes element enthält. Dies beweisen könnte man, indem man zeigt, dass a ein Minimum und b ein Maximum ist. Wäre das vielleicht mit einem widerspruchsbeweis möglich?   ─   userff1974 06.11.2022 um 16:26

Ich sagte vorher schon: allgemein.
Ich mag keine Energie darauf verwenden Dich von Deinen eigenen Abwegen abzuhalten. Wenn Du lieber Deine eigenen Ideen verfolgen magst, ist das auch ok. Aber dann bin ich raus.
Mit nicht-verstehen hat das nichts zu tun. Daran können wir arbeiten.
  ─   mikn 06.11.2022 um 16:31

Hat sich ja nun eh erledigt... Lösung steht ja jetzt da. Lerneffekt gleich null.   ─   cauchy 06.11.2022 um 17:26

Tja, die ganze Helfer-Mühe umsonst.   ─   mikn 06.11.2022 um 18:24

Kodex Punkt 7. Wenn Du langwierige Hilfestellungen (die manchmal nötig sind) nicht aushalten kannst, musst Du sie ja nicht lesen. Welches Problem hast Du damit?
  ─   mikn 06.11.2022 um 18:54

Ja und da bringt natürlich eine Lösung etwas, wenn die Defizite im Verständnis so groß sind.   ─   cauchy 06.11.2022 um 19:52

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