Die Wahrscheinlichkeit für 2x Blau ist \( \frac{1}{4} \) für 2x rot oder 2x grün ist die Wahrscheinlichkeit jeweils \( \frac{1}{16} \). Somit ist die gesamte Wahrscheinlichkeit für 2x die gleiche Farbe \( \frac{1}{4} + 2\frac{1}{16} = \frac{3}{8} \)

Der Erwartungswert des Spiels ist nun die Summe der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteten Auszahlungen.

\( E(X) = \frac{3}{8} \cdot 0,5 + \frac{5}{8} \cdot (-0,5) = -\frac{1}{8} \)

Dabei sind 0,5 und -0,5 die Auszahlungen der jeweiligen Fälle. Du musst 50 Cent bezahlen, wenn du nicht gewinnst machst du halt 50 Cent Verlust. Wenn du gewinnst bekommst du zwar einen Euro, durch deinen Einsatz machst du aber nur 50 Cent Gewinn. Du hast hier einen negativen Erwartungswert. Somit machst du im Mittel mit jedem Spiel einen Verlust von 0,125 Euro.

Wenn du jetzt den Einsatz bestimmen willst, so dass das Spiel fair wird, musst du die Erwartungswert Formel anpassen. Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert = 0 ist.

\( 0 = \frac{3}{8} \cdot (1-x) + \frac{5}{8} \cdot (-x) \)

Diese Gleichung musst du nun nach x auflösen und bekommst somit deinen Einsatz für ein faires Spiel.