Aufgabe zu Dualbasis

Aufrufe: 803     Aktiv: 31.01.2021 um 18:43
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Hallo zusammen,

könnte mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen ?



Danke schon im Voraus

Ich hab jetzt A und A^-1 multipliziert









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Aufgabe a) folgt aus der Tatsache, dass \(A\) invertierbar ist, d.h. \(A\) hat vollen Rang, d.h. die Spalten sind linear unabhängig, also bilden sie eine Basis.

Für \(b_i\in(\mathbb K^n)^\ast\) musst du überprüfen, dass \(b_i\) ein Homomorphismus ist; das ist sehr einfach. Um zu zeigen, dass es die duale Basis ist, musst du \(b_i(a_j)=\delta_{ij}\) nachrechnen. Hierzu ein Hinweis: Die Werte \(b_i(a_j)\) tauchen als Einträge in dem Produkt \(A^{-1}A\) auf.
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Vielen Dank für Ihre schnelle Antwort
wie zeigt man eigentlich den Homomorphismus ? Also welche Bedingungen müssen erfüllt sein ?   ─   lawena 31.01.2021 um 16:13
Seien \(V,W\) zwei \(\mathbb K\)-Vektorräume. Eine Abbildung \(f:V\to W\) heißt (\(\mathbb K\)-Vektorraum-)Homomorphismus, wenn $$\forall v,w\in V:f(v+w)=f(v)+f(w)$$ und $$\forall v\in V\ \forall\lambda\in\mathbb K:f(\lambda v)=\lambda f(v)$$ gilt. Diese zwei Eigenschaften musst du überprüfen.   ─   stal 31.01.2021 um 16:20
Den Homomorphismus habe ich jetzt gezeigt
Aber wie soll ich das mit der dualen Basis machen ?
Also wie soll ich die Gleichheit zeigen ?   ─   lawena 31.01.2021 um 16:37
Multipliziere formal \(A^{-1}A\) aus und vergleiche das Element an der \((i,j)\)-ten Stelle mit \(b_i(a_j)\).   ─   stal 31.01.2021 um 16:43
ok ,
und was genau ist biaj ?   ─   lawena 31.01.2021 um 16:53
\(b_i\) ist eine Funktion, und da setze ich jetzt den Vektor \(a_j\) ein. Dann erhalte ich \(b_i(a_j)\).   ─   stal 31.01.2021 um 16:54
ich habe jetzt A und A^-1 multipliziert und oben hinzugefügt
Wie soll ich weitermachen ?
Wenn das überhaupt richtig ist :)   ─   lawena 31.01.2021 um 17:19
Im Allgemeinen hat man natürlich \(n\times n\)- und nicht \(3\times 3\)-Matrizen, aber vom Prinzip her ist das richtig. D.h. der Eintrag in der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte ist das Skalarprodukt der \(i\)-ten Zeile von \(A^{-1}\) - das ist \(\widetilde a_i\) mit der \(j\)-ten Spalte von \(A\), das ist \(a_j\). Also ist das \(\widetilde a_i\cdot a_j\). Nach Aufgabenstellung ist das \(b_i(a_j)\). Andererseits ist ja \(A^{-1}A=E_n\), weil es sich um Inverse handelt. Welche Werte haben also die \(b_i(a_j)\)?   ─   stal 31.01.2021 um 17:34
sind das dann nicht die Werte, die in der Matrix stehen ? also dann für die nxn matrix ?   ─   lawena 31.01.2021 um 18:24
Genau, und die Werte, die in der Einheitsmatrix stehen, sind genau \(1\), falls \(i=j\), und \(0\) sonst. Das war genau das, was du zeigen solltest.   ─   stal 31.01.2021 um 18:35
und was bedeutet jetzt genau die "duale" Basis zu (a1...an) ?   ─   lawena 31.01.2021 um 18:39
Das habt ihr bestimmt in deiner Vorlesung behandelt, ich dachte, das weißt du. Sonst kannst du ja gar nicht anfangen, die Aufgabe zu bearbeiten. Die duale Basis ist eine Basis des Dualraums, sodass \(b_i(a_j)=\delta_{ij}\), wobei \(\delta_{ij}\) das Kronecker-delta ist. Ausgeschrieben heißt das \(b_i(a_i)=1\) und \(b_i(a_j)=0\) für \(i\neq j\).   ─   stal 31.01.2021 um 18:42
ups ja das hatten wir :)
danke   ─   lawena 31.01.2021 um 18:43

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