Korrekturfrage - Logik - Mathe-Olympiade

Aufrufe: 119     Aktiv: 30.10.2022 um 15:00

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Hallo,

ich habe eine Logikaufgabe aus einer älteren Mathe-Olympiade versucht zu lösen, kann jemand bitte meine Lösung überprüfen?

Vielen Dank und schönen Sonntag.

Quelle: https://www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/45/2/A45102.pdf


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1 Antwort
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Moin,
Du hast auf jeden Fall den richtigen Ansatz. Das "Problem" sind die Mädchen, die man am Tisch unterbringen muss. Allerdings hast du einen Fall übersehen: Es können auch 2 Mädchen nebeneinander sitzen. Probiere es mit diesem Ansatz, wenn du nicht weiterkommst, schreibe ich dir weiter unten die Lösung auf, also
*SPOILERWARNUNG*













Im Folgenden werde ich Junge \(= J\) und Mädchen \(=M\) verwenden. Es gibt zwei mögliche "Bausteine", in denen man Mädchen unterbringen kann, den ersten hast du schon selbst genannt: \(JMJ\). Der zweite lautet \(JMMJ\). Und dann können Jungs natürlich noch alleine stehen, also einfach \(J\). Jetzt muss man 25 Mädchen unterbringen, in einer beliebigen Konstellation von Bausteinen, also
\(25=2\cdot x_1 +x_2\), wobei \(x_1\) die Anzahl der Bausteine mit 2 Mädchen und \(x_2\) die Anzahl der Bausteine mit einem Mädchen beschreibt. Außerdem muss man 25 Jungen unterbringen, also 
\(25=2\cdot x_1+2\cdot x_2+y\), wobei y die Anzahl der "Einzeljungen" \(J\) beschreibt.
Jetzt wird schnell ein Problem klar: subtrahiert man die beiden Gleichung, so erhält man 
\(0=x_2+y\). Jedoch waren \(x_2\) und \(y\) nichtnegative ganze Zahlen, und es muss 
\(x_2=y=0\) gelten, es gibt also nur Bausteine erster Art. Jetzt fällt einem allerdings auf, das damit nur gerade Zahlen von Jungen und Mädchen verteilt werden können, es gilt ja gerade 
\(25=2\cdot x_1\). Es gibt also einen Widerspruch zur Annahme, dass man 25 Jungen und 25 Mädchen wie gewünscht verteilen kann.
LG
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Alles klar, danke. Nur wenn ich jetzt eine Fallunterscheidung machen würde, mit jeweils zwei Mädchen nebeneinander, würde dann mein Ansatz funktionieren?
Schönen Sonntag und viele Grüße
  ─   integrallogarithmus 30.10.2022 um 15:00

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