Naja, blöde Antwort: Fang mal mit der Definition einer Kontraktion an..

Ich denke dann kannst du eigentlich schon recht einfach überlegen wie du dann die Kontraktion für die Funktion aufstellen kannst. Es reicht ja einfach für zwei beliebige \(x,y \in \mathbb{R} \) Dann die Ungleichung \( |T(x) - T(y)| \leq L \cdot |x-y| \) für ein L<1 nachrurechnen. 

Du suchst einen Fixpunkt, also einen Punkt \( x \) der durch die Funktion \( T(\cdot) \) wieder auf sich selbst abgebildet wird.

Zur Bestimmung eines Fixpunktes kann man die Fixpunktiteration verwenden. Wie der Name vermuten lässt, handelt es sich dabei um ein iteratives Verfahren zur Bestimmung von Fixpunkten. Du hast somit eine Folge \( x_0,x_1,x_2, ... \) von x-Werten, die gegen deinen Fixpunkt \( x \) konvergiert. Die Existenz deines Fixpunktes folgt aus der Eigenschaft, dass die Funktion eine Kontraktion ist.

Die Vorgehensweise bei der Fixpunktiteration lautet:

\( x_{k+1} = T(x_k) \)

Du nimmst also zunächst dein \( x_0 \) und setzt das in deine Funktion ein. Der Funktionswert, der dort rauskommt, ist dein nächsten Folgenelement, dass du anschließend wiederum in die Funktion einsetzt, usw. bis sich der Funktionswert kaum noch verändert und du somit nah am Fixpunkt bist.