Grenzwerte bestimmen - eulerische Zahl

Erste Frage Aufrufe: 53     Aktiv: 16.05.2021 um 10:04

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Hallo, wie komme ich rechnerisch auf diese Grenzwerte? 

lim_(n->∞) (1 + 1/n^2)^(n^2) = e

lim_(n->∞) (1 + 1/(2 n))^n = sqrt(e)

In der Aufgabe ist nur das gegeben:
lim_(n->∞) (1 + 1/n)^n = e
Ich habe es bei der ersten mit Substitution versucht, bin mir jedoch nicht sicher, ob das stimmt.
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1 Antwort
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Substituieren ist gut, z.B. beim ersten
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n^2}\right)^{n^2}\overset{m:=n^2}=\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac1m\right)^m=e.$$
Kriegst du die zweite jetzt selbst hin?
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Genau das hatte ich mir bei der Ersten gedacht, aber ich war mir unsicher, weil das mir zu einfach erscheint...
Bei der Zweiten hätte ich jetzt die 2n mit m substituiert und dann das ^(k/2) als Wurzel geschrieben. Der Term unter der Wurzel liefert den Grenzwert e und somit habe ich Wurzel e als Grenzwert.
  ─   sammy132 14.05.2021 um 10:05

Genau, das wars schon. Ist wirklich nicht kompliziert.   ─   stal 14.05.2021 um 10:19

Danke:)
  ─   sammy132 16.05.2021 um 10:04

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