Sigma Algebra

Aufrufe: 225     Aktiv: 22.11.2023 um 21:05

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Hallo zusammen, 
ich stehe vor folgender Aufgabe: 

Wenn  F eine Sigma Algebra ist, dann muss gelten:
1. leere Menge ist in F
2. Wenn A in F ist muss auch das Komplement von A, A^c in F sein 
3. Wenn A1,A2,... in F sind muss auch die Vereinigung von Ai i=1-unendlich in F sein 

Ich komme mit der Lösung von a) nicht wirklich zurecht. Da ich nicht direkt sehe ob es eine Sigma Algebra ist oder nicht möchte ich nach und nach alle Schritte durchgehen. 
Mir ist tatsächlich nicht klar warum die leere Menge in F ist. Kann mir das jemand erklären?
In der Lösung wird ja Punkt 2. (A in F, dann ist auch A^c in F) widerlegt. Das verstehe ich aber nicht. Wir gehen ja davon aus, dass k nach Bk endlich ist. Aber das ist doch nicht der Fall? Warum darf ich davon ausgehen?
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Student, Punkte: 42

 

Widerlegt wird hier nicht Punkt 2, sondern Punkt drei. Die $B_k$ sind in $\mathcal{F}_1$. Würde Punkt 3 gelten, dann müsste auch $B$ (als abzählbare Vereinigung der $B_k$) in $\mathcal{F}_1$ liegen. Aber weder $B$ noch $B^c$ sind endlich, also kann $B$ nach Definition nicht in $\mathcal{F}_1$ liegen.   ─   42 22.11.2023 um 21:05
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Die leere Menge ist endlich, drum ist sie in \(\cal{F}_1\).
Die ersten beiden Sätze der Lösung von a) hast Du missverstanden. Die sind so gemeint:
Definiere  \(B_k=\{k\}\) für alle \(k\in \mathbb{N}\). \(B_k\) ist endlich, also ist \(B_k\in\cal{F}_1\) für alle \(k\in \mathbb{N}\).
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