Berechung cos(arcsin(-1/2)

Aufrufe: 684     Aktiv: 05.02.2021 um 18:36
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Ich soll diese aufgabe berechnen wie kann ich das ohne TR rechnen?
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3 Antworten
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Das kannst du nur, wenn du ein paar wichtige Funktionswerte auswendig kennst.
sin (30°) = 0,5, sin (45°) = 1/2 Wurzel 2, sin (60°) = 1/2 Wurzel 3, sin (90°) = 1, ...

Wenn man jetzt den Verlauf der Sinus und Cosinus-Funktion kennt und die Symmetrien kennt, dann weiß man, dass
sin (-30°) = - 0,5 ist.
Damit hat du den inneren Term aufgelöst.

Und der Cosinus davon ist 1/2 Wurzel 3.

Aber ohne den Verlauf nicht gut im Kopf zu haben geht das ohne Taschenrechner nicht.

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zuerst arcsin von -1/2 berechnen und dieses ergebnis mit cos berechnen?   ─   anonymf907f 05.02.2021 um 17:45
aber warum sin von -30°?   ─   anonymf907f 05.02.2021 um 17:47
Es geht auch bei 330°. Die Periode ist ja 360°. Da wiederholen sich ja die Funktionswerte. Einfach die Funktion mal zeichnen lassen (geogebra.org oder mit sonst einem Programm) oder im Buch schauen. Dann schauen, wo die Funktionswerte auftreten und einfach die Stellen ablesen.
  ─   schlauistwow 05.02.2021 um 17:50

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Das geht wunderbar ohne TR. Man sollte immer beim Hantieren mit sin und cos im Kopf haben, dass \(\cos^2x+\sin^2x=1\) ist für alle \(x\). Wende das nun auf ein geeignetes \(x\) an.
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Angenommen, \(\theta=\arcsin x\), also \(x=\sin\theta\). Dann ist wegen \(\sin^2y+\cos^2y=1\) auch \(\cos \theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}=\pm\sqrt{1-x^2}\). Wegen \(\theta=\arcsin x\) ist \(-\frac\pi2\leq\theta\leq\frac\pi2\), also \(\cos\theta>0\) Es folgt also \(\cos(\arcsin x))=\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\). Jetzt musst du nur noch \(x=-\frac12\) einsetzen.
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da habe ich wurzel((1-(-1/2)^2))   ─   anonymf907f 05.02.2021 um 18:00
wie mache ich das wenn es anders herum ist also sin (arcos 1/2 Wurzel 3)   ─   anonymf907f 05.02.2021 um 18:01
Du kannst genau das gleiche Argument wie ich es gemacht habe, wiederholen. Versuch das mal selbst.   ─   stal 05.02.2021 um 18:28
okay   ─   anonymf907f 05.02.2021 um 18:36

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