Punkt bestimmen [Abstand gegeben]

Aufrufe: 6357     Aktiv: 14.06.2019 um 14:54

1

Die Gerade g ist orthogonal zur Ebene  E: 2x+6y-9z=-6 und durchstößt die Ebene im Punkt P(0|2|2). Bestimmen Sie alle Punkte auf der Geraden g, die von der Ebene E den Abstand 11 haben.

Lösungen: P1 (2|8|-7) und P2 (-2|-4|11)

Frage: wie sieht der Lösungsweg aus?

 

gefragt

Punkte: 357

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
0

Hallo!

 

Hier ein etwas intuitiver Weg:

 

Der Normalenvektor lautet ja

 

\(\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix}2 \\ 6 \\ -9\end{pmatrix} \). Wenn wir nun Daraus einen Vektoren machen, welcher genau durch den Punkt \(\displaystyle (0,2,2) \) (=Ortsvektor) durchläuft, so erhalten wir:

 

\(\displaystyle \lambda\cdot\vec{n}+P \). Der Schnittpunkt ist also \(\displaystyle (0,2,2) \).

 

Der Abstand zwischen dem Vektoren und dem Punkt ist demnach:

 

\(\displaystyle \sqrt{ (2t-0)^2 + (6t+2-2)^2 + (-9t+2-2)^2 } = \pm 11t \overset{!}{=} 11 \quad\Longleftrightarrow\quad t = \pm 1 \).

 

Eingesetzt in den Vektoren ergibt das die beiden Punkte.

 

Hier noch eine Abbildung: https://imgur.com/GD3nZ75

 

Gruß.

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.57K

 

Kommentar schreiben

0

Hallo,

der Normalenvektor besitzt die Länge 11. 

Stellst du nun die Geradengleichung auf \(g: \vec{x}=\overrightarrow{OP}+\lambda \vec{n}\) und setzt \(\lambda = \dfrac{d}{|\vec{n}|}\), wobei \(d\) der gesuchte Abstand ist, so erhältst du die zwei Ortsvektoren der gesuchten Punkte (den Richtungsvektor einmal addieren und einmal subtrahieren). Da der gesuchte Abstand der Länge des NV entspricht, sind die Ortsvektoren der gesuchten Punkte schlichtweg: 

\(P_1:  \overrightarrow{OP}+ \vec{n} \longrightarrow P_1(2|8|-7)\\
P_2:  \overrightarrow{OP}- \vec{n} \longrightarrow P_2(-2|-4|11)\)

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16.5K

 

Kommentar schreiben